Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = 3x + \frac{1}{x} $ usando a definição de derivadas. Isso está no conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como encontrar derivadas a partir do limite da taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da variação da função quando o incremento $ h $ se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = 3x + \frac{1}{x} $. Primeiro, a gente calcula $ f(x + h) $:
Agora, vamos montar a expressão da derivada usando a definição:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão da derivada fica:
Passo 5
Podemos separar a fração:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a parte com as frações:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Quando $ h $ tende a 0, $ x + h $ tende a $ x $, então:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = 3x + \frac{1}{x} $ é: