(2,0) Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
f(x)=3 x+1x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = 3x + \frac{1}{x} $ usando a definição de derivadas. Isso está no conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como encontrar derivadas a partir do limite da taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é dada por:
f(x)
Isso significa que a derivada é o limite da variação da função quando o incremento $ h $ se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = 3x + \frac{1}{x} $. Primeiro, a gente calcula $ f(x + h) $:
f(x) = 3x + 1x
Agora, vamos montar a expressão da derivada usando a definição:
f(x + h)

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
3(x + h) + 1x + h - 3x - 1x = 3x + 3h + 1x + h - 3x - 1x = 3h + ( 1x + h - 1x )
Então, a expressão da derivada fica:
f'(x) = limh to 0 3h + ( 1x + h - 1x )h

Passo 5

Podemos separar a fração:
f'(x) = limh to 0 ( 3hh + 1x + h - 1xh ) = limh to 0 ( 3 + 1x + h - 1xh )

Passo 6

Agora, vamos simplificar a parte com as frações:
1x + h - 1xh = x - (x + h)h cdot x(x + h) = -hh cdot x(x + h) = -1x(x + h)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = limh to 0 ( 3 + -1x(x + h) ) = 3 + limh to 0 ( -1x(x + h) )
Quando $ h $ tende a 0, $ x + h $ tende a $ x $, então:
h

Resposta

A derivada da função $ f(x) = 3x + \frac{1}{x} $ é:
f(x) = 3x + 1x

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