Determine em que pontos a função é contínua, justificando sua resposta.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função de três variáveis definida por
O conteúdo é continuidade de função de várias variáveis. Vamos usar que quociente de funções contínuas (com denominador não nulo) é contínuo, e depois verificar diretamente o limite no ponto (0,0,0).
Passo 2
Verificação fora da origem: Para qualquer ponto (x,y,z)neq(0,0,0), tanto o numerador x^2sin(y+z) quanto o denominador x^2+y^2+z^4 são funções contínuas, e o denominador não se anula. Logo, por regra de quociente, f é contínua em todo ponto diferente de (0,0,0).
Passo 3
Análise do ponto (0,0,0): Precisamos calcular
lim(x,y,z)to(0,0,0) x^2sin(y+z)x^2+y^2+z^4
Usamos desigualdades e o teorema do sanduíche. Primeiro,
Como (x,y,z)to(0,0,0), temos |y|+|z|to0. Pelo teorema do sanduíche, o limite de f(x,y,z) é zero.
Passo 4
Conclusão sobre continuidade em (0,0,0): O limite de f(x,y,z) quando (x,y,z)to(0,0,0) é 0, mas f(0,0,0)=pi. Como limite e valor da função não coincidem, f é descontínua em (0,0,0).
Resposta
A função é contínua em todo ponto (x,y,z)neq(0,0,0) e descontínua em (0,0,0).