calcule as seguintes integrais:
integral 6-xraiz4 x^3-12 x+7 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida I=integral6-xraiz4x^3-12x+7,dx. Aqui o conteúdo é integração de uma função que envolve raiz de um polinômio de 3º grau. Vamos precisar usar a técnica de decompor o numerador em termos da derivada do polinômio de baixo e depois aplicar integrais conhecidas envolvendo f'(x)/raizf(x) e 1/raizf(x).

Passo 2

Começamos identificando f(x)=4x^3-12x+7 e f'(x)=12x^2-12=12(x^2-1). Sabemos que
integralf'(x)raizf(x),dx=2raizf(x)+C

Passo 3

Escrevemos o numerador 6-x como combinação de x^2-1 e o resto: de fato
6-x=0cdot(x^2-1)+(-x+6)
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I=-integralxraizf(x),dx+6integral1raizf(x),dx

Passo 4

Para cada parcela usamos funções elementares:
  1. integralxraiz4x^3-12x+7,dx=raiz4x^3-12x+76+2x+14raiz3lnl|2x+1+raiz3raiz4x^3-12x+7r|+C1
  2. integral1raiz4x^3-12x+7,dx=12raiz3lnl|2x+1+raiz3raiz4x^3-12x+7r|+C2

Passo 5

Somando e recolhendo constantes encontramos
$$I= -\Bigl(\frac{\sqrt{4x3-12x+7}}{6}+\frac{2x+1}{4\sqrt3}\ln|2x+1+\sqrt3\sqrt{4x3-12x+7}|\Bigr)
+6\Bigl(\frac{1}{2\sqrt3}\ln|2x+1+\sqrt3\sqrt{4x^3-12x+7}|\Bigr)+C.$$
Simplificando os termos de I= -l(raiz4x^3-12x+76+2x+14raiz3ln|2x+1+raiz3raiz4x^3-12x+7|r) +6l(12raiz3ln|2x+1+raiz3raiz4x^3-12x+7|r)+C e de ln, obtemos a primitiva em forma fechada.

Passo 6

Após simplificar os coeficientes das funções logarítmicas e da raiz, o resultado final é

Passo 7

Resposta

integral6-xraiz4x^3-12x+7,dx = raiz4x^3-12x+72; -;raiz32;lngl|2x+1+raiz3raiz4x^3-12x+72x+1-raiz3raiz4x^3-12x+7gr| + C

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