Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 3x + \sqrt{x} $ usando a definição de derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é o limite da taxa de variação de $ f $ quando $ h $ se aproxima de zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = 3x + \sqrt{x} $. Primeiro, calculamos $ f(x+h) $:
Em seguida, encontramos a diferença $ f(x+h) - f(x) $:
Passo 4
Agora, vamos substituir na definição da derivada:
Podemos separar os termos:
Agora, vamos focar no limite que envolve a raiz quadrada:
Para resolver isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz:
Agora, tomando o limite quando $ h \to 0 $:
Resposta
Portanto, a derivada da função é: