(2,0) Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
f(x)=3 x+raizx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 3x + \sqrt{x} $ usando a definição de derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é o limite da taxa de variação de $ f $ quando $ h $ se aproxima de zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = 3x + \sqrt{x} $. Primeiro, calculamos $ f(x+h) $:
f(x) = 3x + raizx
Em seguida, encontramos a diferença $ f(x+h) - f(x) $:
f(x+h)

Passo 4

Agora, vamos substituir na definição da derivada:
f'(x) = limh to 0 3h + raizx+h - raizxh
Podemos separar os termos:
f'(x) = limh to 0 ( 3hh + raizx+h - raizxh ) = limh to 0 ( 3 + raizx+h - raizxh )
Agora, vamos focar no limite que envolve a raiz quadrada:
limh to 0 raizx+h - raizxh
Para resolver isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz:
raizx+h - raizxh cdot raizx+h + raizxraizx+h + raizx = (x+h) - xh(raizx+h + raizx) = hh(raizx+h + raizx) = 1raizx+h + raizx
Agora, tomando o limite quando $ h \to 0 $:
h to 0

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
f'(x) = 3 + 12 raizx

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