(2,0) Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
f(x)=3 x^2+6 cos x.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = 3x^{2} + 6 \cos x $ usando a definição formal de derivadas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde aprendemos a encontrar a taxa de variação de uma função em qualquer ponto. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é essencial para entender como as funções mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal da derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ no ponto $ x $ é dada por:
f(x)
Esse limite significa que estamos vendo como a função muda quando fazemos uma pequena alteração $ h $ em $ x $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x) = 3x^{2} + 6 \cos x $. Primeiro, precisamos calcular $ f(x + h) $:
f(x) = 3x^2 + 6 cos x

Passo 4

Vamos expandir $ (x + h)^{2} $:
(x + h)^2
Então,
(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2
f(x + h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) + 6 cos(x + h)

Passo 5

Agora, calculamos $ f(x + h) - f(x) $:
f(x + h) - f(x)
f(x + h) - f(x) = (3x^2 + 6xh + 3h^2 + 6 cos(x + h)) - (3x^2 + 6 cos x)

Passo 6

Dividimos tudo isso por $ h $:
h
f(x + h) - f(x)h = 6xh + 3h^2 + 6 (cos(x + h) - cos x)h

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando $ h $ tende a 0. Sabemos que:
h
E também:
limh to 0 3h = 0
Isso porque a derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $.

Passo 8

Substituindo os limites, temos:
f'(x) = 6x + 0 + 6(-sin x)
f'(x) = 6x - 6 sin x

Resposta

A derivada da função é $ f’(x) = 6x - 6 \sin x $.

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