Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = 3x^{2} + 6 \cos x $ usando a definição formal de derivadas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde aprendemos a encontrar a taxa de variação de uma função em qualquer ponto. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é essencial para entender como as funções mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal da derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ no ponto $ x $ é dada por:
Esse limite significa que estamos vendo como a função muda quando fazemos uma pequena alteração $ h $ em $ x $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ f(x) = 3x^{2} + 6 \cos x $. Primeiro, precisamos calcular $ f(x + h) $:
Passo 4
Vamos expandir $ (x + h)^{2} $:
Então,
Passo 5
Agora, calculamos $ f(x + h) - f(x) $:
Passo 6
Dividimos tudo isso por $ h $:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite quando $ h $ tende a 0. Sabemos que:
E também:
Isso porque a derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $.
Passo 8
Substituindo os limites, temos:
Resposta
A derivada da função é $ f’(x) = 6x - 6 \sin x $.