(g) integral0^pi6 tg^2 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^pi6 tan^2(2x),dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas e vamos precisar usar uma identidade para simplificar.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica para tan^2(2x):
tan^2(2x)=sec^2(2x)-1
Assim a integral original fica
integral0^pi6tan^2(2x),dx=integral0^pi6(sec^2(2x)-1),dx=integral0^pi6sec^2(2x),dx-integral0^pi61,dx

Passo 3

Agora calculamos as antiderivadas: a de sec^2(2x) é tfrac12tan(2x) e a de 1 é x. Logo
integralsec^2(2x),dx=12tan(2x),integral1,dx=x

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a pi6:
l[tfrac12tan(2x)-xr]0^pi6=l(tfrac12tan(tfracpi3)-tfracpi6r)-l(0-0r)=12raiz3-pi6

Resposta

raiz32-pi6

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