(2,0) Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
f(x)=raizcos (2 x).

Passo 1

A função é f(x)=\sqrt{\cos(2x)} e o objetivo é achar f’(x) usando a definição formal de derivada, ou seja, f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h. Vamos precisar de identidades trigonométricas e do truque de racionalização.

Passo 2

Escrevemos o quociente incremental:
f(x+h)-f(x)h=raizcosl(2(x+h)r)-raizcos(2x)h

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando por seu conjugado:
raizcos(2(x+h))-raizcos(2x)hcdot raizcos(2(x+h))+raizcos(2x)raizcos(2(x+h))+raizcos(2x)) =cos(2(x+h))-cos(2x)hl(raizcos(2(x+h))+raizcos(2x)r)

Passo 4

Aplicamos a identidade cos A-cos B=-2sinl(A+B2r)sinl(A-B2r) com A=2x+2h e B=2x:
cos(2x+2h)-cos(2x)=-2sin(2x+h)sin(h)
Então o quociente vira
-2sin(2x+h)sin(h)hl(raizcos(2(x+h))+raizcos(2x)r)=-2sin(2x+h)cdotsin(h)hcdot1raizcos(2(x+h))+raizcos(2x)

Passo 5

Tomamos o limite h→0. Sabemos que limhto0sin(h)h=1, que sin(2x+h)tosin(2x) e que raizcos(2(x+h))+raizcos(2x)to2raizcos(2x). Assim:
f'(x)=-2sin(2x)cdot1cdot12raizcos(2x)=-sin(2x)raizcos(2x)

Resposta

f'(x)=-dfracsin(2x)raizcos(2x).

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