As seguintes equações representam superfícies, para cada uma desenhe as curvas de nível e a partir delas faça un esboço do gráfico. Qual nome daria a cada superfície?
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a equação $ z = x^{2} + y^{2} $. A matéria aqui envolve superfícies no espaço tridimensional e as chamadas curvas de nível, que são basicamente “fatias” dessa superfície em diferentes alturas. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar essas curvas de nível e identificar qual tipo de superfície estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Imagine que você está olhando para a superfície de uma montanha e quer desenhar as linhas que representam diferentes altitudes. No nosso caso, as curvas de nível são obtidas fixando valores constantes para $ z $. Então, vamos escolher alguns valores de $ z $ e ver como fica a relação entre $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos escolher $ z = k $, onde $ k $ é uma constante positiva. Substituindo na equação original, temos:
Essa é a equação de um círculo no plano $ xy $ com raio $ r = \sqrt{k} $. Isso significa que para cada valor de $ z = k $, a curva de nível é um círculo com raio proporcional à raiz quadrada de $ k $.
Passo 4
Agora, para esboçar o gráfico da superfície, vamos imaginar vários desses círculos empilhados uns sobre os outros à medida que $ z $ aumenta. Cada círculo fica maior conforme o valor de $ z $ cresce, formando uma forma curva que se abre para cima.
Passo 5
Com base nessas características, a superfície representada pela equação $ z = x^{2} + y^{2} $ é uma parábola circular ou paraboloide circular. Ela tem forma de uma tigela ou uma escada que se abre para cima, onde cada “degrau” representa um círculo maior conforme subimos.
Resposta
A superfície é um paraboloide circular, representada pela equação $ z = x^{2} + y^{2} $.