(2,0) Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
f(x)=raiz3 x+2.

Passo 1

Beleza, então a gente vai calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt{3x + 2} $ usando a definição formal de derivadas. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal da derivada, que basicamente nos diz como encontrar a inclinação da tangente em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal da derivada de uma função $ f $ em um ponto $ x $:
f
Esse limite nos dá a taxa de variação instantânea de $ f $ em $ x $.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = \sqrt{3x + 2} $. Substituindo na fórmula:
f(x) = raiz3x + 2

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, expandimos o que está dentro da raiz:
raiz3(x + h) + 2 = raiz3x + 3h + 2
Então, a expressão fica:
f'(x) = limh to 0 raiz3x + 3h + 2 - raiz3x + 2h

Passo 5

Para resolver esse limite, vamos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes. O conjugado de $ \sqrt{3x + 3h + 2} - \sqrt{3x + 2} $ é $ \sqrt{3x + 3h + 2} + \sqrt{3x + 2} $. Então:
raiz3x + 3h + 2 - raiz3x + 2

Passo 6

Multiplicando os numeradores e denominadores:
f'(x) = limh to 0 (3x + 3h + 2) - (3x + 2)h ( raiz3x + 3h + 2 + raiz3x + 2 )
Simplificando o numerador:
3x + 3h + 2 - 3x - 2 = 3h
Então, a expressão fica:
f'(x) = limh to 0 3hh ( raiz3x + 3h + 2 + raiz3x + 2 )

Passo 7

Agora, podemos cancelar o $ h $ no numerador e denominador:
h

Passo 8

Finalmente, passando o limite $ h \to 0 $:
h to 0

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \sqrt{3x + 2} $ é:
f(x) = raiz3x + 2

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