Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, então a gente vai calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt{3x + 2} $ usando a definição formal de derivadas. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal da derivada, que basicamente nos diz como encontrar a inclinação da tangente em qualquer ponto da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal da derivada de uma função $ f $ em um ponto $ x $:
Esse limite nos dá a taxa de variação instantânea de $ f $ em $ x $.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = \sqrt{3x + 2} $. Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, expandimos o que está dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Para resolver esse limite, vamos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes. O conjugado de $ \sqrt{3x + 3h + 2} - \sqrt{3x + 2} $ é $ \sqrt{3x + 3h + 2} + \sqrt{3x + 2} $. Então:
Passo 6
Multiplicando os numeradores e denominadores:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, podemos cancelar o $ h $ no numerador e denominador:
Passo 8
Finalmente, passando o limite $ h \to 0 $:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \sqrt{3x + 2} $ é: