Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
O plano tangente ao gráfico de f(x, y)=x^2 cos (x y) relativo ao ponto (0,0,0) é paralelo ao plano tangente ao gráfico de g(x, y)= x cos (y) relativo ao ponto (0, pi2, 0).

Passo 1

O enunciado quer saber se o plano tangente ao gráfico de f(x,y)=x^2,cos(xy) em (0,0,0) é paralelo ao plano tangente ao gráfico de g(x,y)=xcos(y) em (0,tfracpi2,0). O conteúdo envolve derivadas parciais e equação de plano tangente, que usamos para obter normais aos planos.

Passo 2

Calculemos o plano tangente de f. Primeiro obtemos as derivadas parciais:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^2cos(xy)r)=2xcos(xy)-x^2ysin(xy),
fy(x,y)=partialpartial yl(x^2cos(xy)r)=-x^3sin(xy)

Passo 3

Em (0,0) temos fx(0,0)=0, fy(0,0)=0 e f(0,0)=0. Logo o plano tangente é
z=0,,cuja normal é (0,0,1).

Passo 4

Agora o plano tangente de g. As derivadas são
gx(x,y)=cos(y),
gy(x,y)=-xsin(y)

Passo 5

Em (0,tfracpi2) obtemos gx=cos(tfracpi2)=0, gy=0 e g=0. Assim o plano também é
z=0,,com normal (0,0,1).

Passo 6

Como as normais são colineares, os planos são paralelos, portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira

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