Considere f(x, y)=e^x cos (y). O conjuntos dos pontos (a, b) para os quais vale simultaneamente que partial fpartial x(a, b)=0 e partial fpartial y(a, b)=0 é:
(a) Uma elipse
(b) Uma parábola.
© Um conjunto finito de pontos não vazio.
(d) Conjunto vazio.
(e) Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

Estamos procurando os pontos críticos de f(x,y)=e^{x}\cos(y), ou seja, os (a,b) tais que partial f/partial x=0 e partial f/partial y=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: partial f/partial x=e^xcos(y) e partial f/partial y=-e^xsin(y).

Passo 3

Para satisfazer partial f/partial x=0 precisamos de e^xcos(y)=0. Como e^x>0 para todo x, exige-se cos(y)=0.
Para satisfazer partial f/partial y=0 precisamos de -e^xsin(y)=0. Novamente e^x>0, então sin(y)=0.

Passo 4

Não existe valor de y que anule simultaneamente cos(y) e sin(y). Portanto não há pontos (a,b) que satisfaçam ambas as condições.

Resposta

Conjunto vazio.

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