Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 2x \sin x $ usando a definição formal de derivadas. Aqui vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada como limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição formal de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é dada por:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar $ f’(x) $.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função $ f(x) = 2x \sin x $ na definição. Temos:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 4
Vamos distribuir o 2 dentro dos termos:
Agora, vamos separar os termos para facilitar:
Simplificando as frações:
Passo 5
Vamos lembrar de duas coisas importantes aqui:
- A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $, então:
- Quando $ h $ tende a 0, $ \sin(x + h) $ tende a $ \sin x $.
Usando essas informações, substituímos na expressão:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = 2x \sin x $ é: