(2,0) Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
f(x)=2 x sen x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 2x \sin x $ usando a definição formal de derivadas. Aqui vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada como limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é dada por:
f(x)
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar $ f’(x) $.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função $ f(x) = 2x \sin x $ na definição. Temos:
f(x) = 2x sin x
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Vamos distribuir o 2 dentro dos termos:
f'(x) = limh to 0 2x sin(x + h) + 2h sin(x + h) - 2x sin xh
Agora, vamos separar os termos para facilitar:
f'(x) = limh to 0 [ 2x sin(x + h) - 2x sin xh + 2h sin(x + h)h ]
Simplificando as frações:
f'(x) = limh to 0 [ 2x cdot sin(x + h) - sin xh + 2 sin(x + h) ]

Passo 5

Vamos lembrar de duas coisas importantes aqui:
  1. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $, então:
sin x
  1. Quando $ h $ tende a 0, $ \sin(x + h) $ tende a $ \sin x $.
Usando essas informações, substituímos na expressão:
cos x

Resposta

A derivada da função $ f(x) = 2x \sin x $ é:
f(x) = 2x sin x

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