Seja
Determine, se existem, pontos do domínio cuja imagem seja cada um dos seguintes números reais:
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Determine, se existem, pontos do domínio cuja imagem seja cada um dos seguintes números reais:
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=ln(x+y−1) e pede pontos (x,y) no domínio tais que f(x,y)=c, para vários valores c. O conteúdo é nível de contorno de funções e propriedades do logaritmo natural. Sabemos que, para ln(u)=c, precisamos de u>0 e u=e^c. Aqui o domínio exige x+y−1>0.
Passo 2
Aplicando ln(x+y−1)=c, temos x+y−1=e^c. Logo, a condição para ter f(x,y)=c é x+y=1+e^c. Isso descreve uma reta no plano cujos pontos são infinitos e todos satisfazem o domínio, pois e^c>0 implica x+y>1.
Passo 3
Para fornecer um exemplo explícito de ponto em cada caso, basta escolher um y fixo (por exemplo y=0) e definir x=1+e^c. Assim, para cada valor c dado encontraremos um ponto no domínio com f(x,y)=c.
Resposta
Para c=0: (x,y)=(1+e^0,0)=(2,0)
Para c=3: (x,y)=(1+e^3,0)
Para c=10000: (x,y)=(1+e^{10000},0)
Para c=−1325478: (x,y)=(1+e^{−1325478},0)
Para c=α: (x,y)=(1+e^{α},0)
Para c=3: (x,y)=(1+e^3,0)
Para c=10000: (x,y)=(1+e^{10000},0)
Para c=−1325478: (x,y)=(1+e^{−1325478},0)
Para c=α: (x,y)=(1+e^{α},0)