i) integral cosec thetacosec theta-sen theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de uma função trigonométrica: integral cscthetacsctheta - sintheta ,dtheta. O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar reescrever csctheta em termos de sintheta e costheta para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, escrevemos csctheta = 1sintheta e transformamos o denominador:
csctheta - sintheta = 1sintheta - sintheta = 1 - sin^2thetasintheta = cos^2thetasintheta

Passo 3

Isso nos dá
cscthetacsctheta - sintheta = 1sinthetacos^2thetasintheta = 1cos^2theta = sec^2theta

Passo 4

Agora a integral fica integral sec^2theta ,dtheta, que já é uma integral padrão de funções trigonométricas.

Resposta

tantheta + C

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