Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = 3x + \sqrt{2x} $ usando a definição formal de derivadas. Isso significa que vamos utilizar a fórmula:
Passo 2
Vamos começar substituindo $ f(x) $ na fórmula da derivada:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o numerador:
Isso reduz para:
Passo 4
Vamos separar os termos no numerador:
Passo 5
Para resolver o limite que envolve as raízes, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado da expressão envolvendo as raízes:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Quando $ h $ tende a 0, $ \sqrt{2x + 2h} $ se aproxima de $ \sqrt{2x} $. Então:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = 3x + \sqrt{2x} $ é: