(2,0) Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
f(x)=3 x+raiz2 x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = 3x + \sqrt{2x} $ usando a definição formal de derivadas. Isso significa que vamos utilizar a fórmula:
f(x) = 3x + raiz2x

Passo 2

Vamos começar substituindo $ f(x) $ na fórmula da derivada:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador:
f'(x) = limh to 0 3x + 3h + raiz2x + 2h - 3x - raiz2xh
Isso reduz para:
f'(x) = limh to 0 3h + raiz2x + 2h - raiz2xh

Passo 4

Vamos separar os termos no numerador:
f'(x) = limh to 0 ( 3hh + raiz2x + 2h - raiz2xh ) = limh to 0 ( 3 + raiz2x + 2h - raiz2xh )

Passo 5

Para resolver o limite que envolve as raízes, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado da expressão envolvendo as raízes:
raiz2x + 2h - raiz2xh times raiz2x + 2h + raiz2xraiz2x + 2h + raiz2x = (2x + 2h) - 2xh ( raiz2x + 2h + raiz2x ) = 2hh ( raiz2x + 2h + raiz2x ) = 2raiz2x + 2h + raiz2x

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = limh to 0 ( 3 + 2raiz2x + 2h + raiz2x )
Quando $ h $ tende a 0, $ \sqrt{2x + 2h} $ se aproxima de $ \sqrt{2x} $. Então:
h

Resposta

A derivada da função $ f(x) = 3x + \sqrt{2x} $ é:
f(x) = 3x + raiz2x

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