Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas:
y^prime prime+2 y^prime+y=e^-x ln (x);

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
y'' + 2y' + y = e^-xln(x)
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos usar o método de variação de parâmetros para achar uma solução particular depois de encontrar a solução geral da parte homogênea.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea associada:
y'' + 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0 implies (r+1)^2 = 0 implies r = -1 (raiz dupla)
Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x

Passo 3

Agora vamos aplicar o método de variação de parâmetros. Escolhemos as soluções fundamentais
y1 = e^-x, y2 = x e^-x,
e usamos as fórmulas
W = y1 y2' - y1' y2,
u1'(x) = -y2(x),g(x)W(x), u2'(x) = y1(x),g(x)W(x),
onde g(x)=e^-xln(x).

Passo 4

Calculamos o Wronskiano e as derivadas auxiliares:
y1' = -e^-x, y2' = e^-x - x e^-x,
W = e^-x(e^-x-x e^-x) - (-e^-x)(x e^-x) = e^-2x
Assim
u1'(x) = -x e^-x cdot e^-xln(x)e^-2x = -xln(x),
u2'(x) = e^-xcdot e^-xln(x)e^-2x = ln(x)

Passo 5

Agora integramos para achar u1 e u2:
Para u1:
u1 = -integral xln(x),dx
Fazendo integração por partes com A=ln(x) e dB=x,dx:
$$\int x\ln(x)dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx
= \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4}.$$
Logo
integral xln(x)dx = x^22ln(x) - integral x^22cdot1xdx = x^22ln(x) - x^24
Para u1(x) = -x^22ln(x) + x^24:
u2

Passo 6

A solução particular é dada por
yp(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)
Substituindo:
yp = l(-x^22ln(x)+x^24r)e^-x + (xln(x)-x),x e^-x
Agrupando termos:
yp = l(-x^22ln(x) + x^2ln(x)r)e^-x + l(x^24-x^2r)e^-x,
yp = x^22ln(x)e^-x - 3x^24e^-x

Passo 7

A solução geral da equação original fica
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x + x^22e^-xln(x) - 3x^24e^-x

Passo 8

Prontinho! Essa é a solução geral da equação não-homogênea.

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x + x^22e^-xln(x) - 3x^24e^-x

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