Resolva as seguintes equações diferenciais não-homogêneas:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos usar o método de variação de parâmetros para achar uma solução particular depois de encontrar a solução geral da parte homogênea.
Passo 2
Primeiro resolvemos a parte homogênea associada:
A equação característica é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora vamos aplicar o método de variação de parâmetros. Escolhemos as soluções fundamentais
e usamos as fórmulas
onde
.
Passo 4
Calculamos o Wronskiano e as derivadas auxiliares:
Assim
Passo 5
Agora integramos para achar
e
:
Para
:
Fazendo integração por partes com
e
:
$$\int x\ln(x)dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx
= \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4}.$$
Logo
Para
:
Passo 6
A solução particular é dada por
Substituindo:
Agrupando termos:
Passo 7
A solução geral da equação original fica
Passo 8
Prontinho! Essa é a solução geral da equação não-homogênea.