Resolva as equações:
y^prime prime prime+3 y+3 y^prime+y=0;

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 3y'' + 3y' + y = 0
Não há condições iniciais, então buscamos a solução geral usando o polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^lambda x. Substituindo na EDO, temos
lambda^3 e^lambda x + 3lambda^2 e^lambda x + 3lambda e^lambda x + e^lambda x = 0;
dividindo por e^lambda xneq0, chega-se ao polinômio característico
lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 1 = 0

Passo 3

Observamos que
lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 1 = (lambda + 1)^3,
logo há uma raiz real lambda = -1 de multiplicidade 3.

Passo 4

Quando uma raiz lambda0 de multiplicidade m ocorre no polinômio característico, a parte correspondente da solução geral é
e^lambda0 x(C1 + C2 x + cdots + Cm x^m-1)
Aqui lambda0=-1 e m=3, então

Passo 5

a solução geral da EDO é
y(x) = (C1 + C2 x + C3 x^2) e^-x,
com C1, C2, C3 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = (C_1 + C_2 x + C_3 x^2) e^{-x}

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