(2,0) Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
g(x)=3 x^2-16 x+35.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ g(x) = 3x^{2} - 16x + 35 $ usando a definição formal de derivadas. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada, que envolve limites e entender como uma função muda em relação a $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal de derivada. A derivada de uma função $ g(x) $ em relação a $ x $ é dada por:
g(x)
Isso significa que vamos calcular o limite conforme $ h $ se aproxima de zero da expressão $ \frac{g(x + h) - g(x)}{h} $.

Passo 3

Vamos calcular $ g(x + h) $. Substituindo $ x $ por $ x + h $ na função $ g(x) $:
g(x + h)
Agora, vamos expandir essa expressão.

Passo 4

Expandindo o termo $ (x + h)^2 $:
(x + h)^2
Substituindo de volta na expressão de $ g(x + h) $:
(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Passo 5

Distribuindo o 3 dentro dos parênteses:
g(x + h) = 3x^2 + 6xh + 3h^2 - 16x - 16h + 35

Passo 6

Agora, vamos calcular a diferença $ g(x + h) - g(x) $:
g(x + h) - g(x)
Simplificando os termos:
g(x + h) - g(x) = (3x^2 + 6xh + 3h^2 - 16x - 16h + 35) - (3x^2 - 16x + 35)

Passo 7

Dividindo essa diferença por $ h $:
h

Passo 8

Finalmente, calculamos o limite conforme $ h $ se aproxima de zero:
h

Resposta

A derivada da função $ g(x) = 3x^{2} - 16x + 35 $ é:
g(x) = 3x^2 - 16x + 35

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