Prove a versão a seguir da regra de lHôspital: Se
são funções deriváveis em
tais que
e
, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas funções diferenciáveis f e g num intervalo I e um ponto x₀ em que f(x₀)=g(x₀)=0 e g′(x₀)≠0, vale
limₓ→ₓ₀ f(x)/g(x)=f′(x₀)/g′(x₀). O conteúdo é aproximação linear via definição de derivada e precisamos usar a expansão
de f e g em torno de x₀.
limₓ→ₓ₀ f(x)/g(x)=f′(x₀)/g′(x₀). O conteúdo é aproximação linear via definição de derivada e precisamos usar a expansão
de f e g em torno de x₀.
Passo 2
Pela definição de derivada, existem funções φ_f e φ_g tais que para x≠x₀:
e ainda φ_f(x)→0 e φ_g(x)→0 quando x→x₀.
Passo 3
Como f(x₀)=g(x₀)=0, simplificamos cada expansão:
Passo 4
Para x≠x₀ podemos dividir f(x) por g(x) e cancelar o fator (x−x₀):
Passo 5
Como φ_f(x)→0 e φ_g(x)→0 ao x→x₀ e g’(x₀)≠0 garante que g’(x₀)+φ_g(x) fica afastado de zero, basta passar ao limite: