Prove a versão a seguir da regra de lHôspital: Se f, g: I R são funções deriváveis em x0 in I tais que f(x0)=g(x0)=0 e g^prime(x0) neq 0, então
lim x x0 f(x)g(x)=f^prime(x0)g^prime(x0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas funções diferenciáveis f e g num intervalo I e um ponto x₀ em que f(x₀)=g(x₀)=0 e g′(x₀)≠0, vale
limₓ→ₓ₀ f(x)/g(x)=f′(x₀)/g′(x₀). O conteúdo é aproximação linear via definição de derivada e precisamos usar a expansão
de f e g em torno de x₀.

Passo 2

Pela definição de derivada, existem funções φ_f e φ_g tais que para x≠x₀:
f(x)-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)+φf(x)(x-x₀), g(x)-g(x₀)=g'(x₀)(x-x₀)+φg(x)(x-x₀),
e ainda φ_f(x)→0 e φ_g(x)→0 quando x→x₀.

Passo 3

Como f(x₀)=g(x₀)=0, simplificamos cada expansão:
f(x)=igl(f'(x₀)+φf(x)r)(x-x₀), g(x)=igl(g'(x₀)+φg(x)r)(x-x₀) 

Passo 4

Para x≠x₀ podemos dividir f(x) por g(x) e cancelar o fator (x−x₀):
f(x)g(x)=(f'(x₀)+φf(x))(x-x₀)(g'(x₀)+φg(x))(x-x₀)=f'(x₀)+φf(x)g'(x₀)+φg(x)

Passo 5

Como φ_f(x)→0 e φ_g(x)→0 ao x→x₀ e g’(x₀)≠0 garante que g’(x₀)+φ_g(x) fica afastado de zero, basta passar ao limite:
limx→x₀f(x)g(x)=f'(x₀)+0g'(x₀)+0=f'(x₀)g'(x₀)

Resposta

limxto x0f(x)g(x)=f'(x0)g'(x0)

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