Calcule pela definição os seguintes logaritmos:
4^{\log _{2} 3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de 4^{\log_{2} 3}.
Informações dadas: a base do expoente é 4 e o expoente é \log_{2} 3 (logaritmo de 3 na base 2). O objetivo é encontrar o valor numérico dessa expressão.

Passo 2

Entenda o que significa \log_{2}3. Vou chamar
y=\log_{2}3.
Por definição de logaritmo, isso significa que y é o número tal que
2^{y}=3.
Em palavras: \log_{2}3 é o expoente que devemos dar a 2 para obter 3.

Passo 3

Reescrevemos a expressão a ser calculada usando y:
4^{\log_{2}3}=4^{y}.
Agora use que 4 pode ser escrito como potência de 2, já que 4=2^{2}. Substituindo:
4^{y}=(2^{2})^{y}.

Passo 4

Use a propriedade de potências que diz (a^{b})^{c}=a^{bc}. Aplicando:
(2^{2})^{y}=2^{2y}.
Outra forma útil da mesma propriedade é 2^{2y}=(2^{y})^{2}.

Passo 5

Agora substitua 2^{y} pelo valor que sabemos da definição do logaritmo: 2^{y}=3. Assim,
(2^{y})^{2}=3^{2}.

Passo 6

Calcule 3^{2}:
3^{2}=9.
Portanto a expressão original vale 9. Você pode checar mentalmente: se 2^{y}=3, então elevar 4 a y é o mesmo que elevar 2^{2} a y, que dá 3^{2} — bem direto.

Resposta

9

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