Calcule pela definição os seguintes logaritmos:
\log _{8} \frac{1}{27}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{8}\frac{1}{27} pela definição.
Informações dadas: a base é 8 e o argumento é \dfrac{1}{27}.
Pergunta: determinar o número (real) y tal que \log_{8}\frac{1}{27}=y.

Passo 2

Vamos começar traduzindo a definição de logaritmo para uma equação exponencial. A definição diz: \log_{b} a = x se, e somente se, b^{x}=a. Então, se chamarmos
\displaystyle y=\log_{8}\frac{1}{27},
isso é equivalente a escrever a equação exponencial
8^{y}=\frac{1}{27}.

Passo 3

Explique por que vamos reescrever as bases: é útil expressar 8 e 27 em potências de números primos para manipular potências com regras simples. Observação:
8=2^{3}\qquad\text{e}\qquad 27=3^{3}.
Também note que \dfrac{1}{27}=27^{-1}=(3^{3})^{-1}=3^{-3}. Usando essas igualdades podemos reescrever a equação do passo anterior.

Passo 4

Substituindo as potências no lado esquerdo e direito obtemos, exibindo os passos:
8^{y}=(2^{3})^{y}=2^{3y}
e
\frac{1}{27}=(3^{3})^{-1}=3^{-3}.
Portanto a equação 8^{y}=\dfrac{1}{27} fica
2^{3y}=3^{-3}.

Passo 5

Aqui temos uma potência de 2 igual a uma potência de 3. Como 2 e 3 são bases diferentes (números primos distintos), não podemos igualar expoentes diretamente — precisamos aplicar uma função que permita “trazer” os expoentes para frente: o logaritmo (qualquer base serve, vou usar o logaritmo natural \ln). Aplicando \ln em ambos os lados:
\ln\bigl(2^{3y}\bigr)=\ln\bigl(3^{-3}\bigr).
Usando a propriedade do logaritmo \ln(a^{k})=k\ln a, temos
3y\ln 2 = -3\ln 3.

Passo 6

Agora isolamos y. Dividindo ambos os lados por 3\ln 2,
y=\frac{-3\ln 3}{3\ln 2}=\frac{-\ln 3}{\ln 2}.
Aqui usei também a propriedade de cancelamento do fator 3. Essa expressão é correta e já é uma forma exata do logaritmo pedido.

Passo 7

Podemos também escrever essa resposta usando a fórmula de mudança de base do logaritmo: \log_{b} a=\dfrac{\ln a}{\ln b}. Assim
y=\frac{-\ln 3}{\ln 2}=-\log_{2}3.
Ou seja, \log_{8}\dfrac{1}{27}=-\log_{2}3. Se quiser uma aproximação numérica rápida (só para intuição): \log_{2}3\approx 1{,}585, então y\approx -1{,}585.

Resposta

-\log_{2}3

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