Calcule pela definição os seguintes logaritmos:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
pela definição.
Informações dadas: a base é e o argumento é
.
Pergunta: determinar o número (real) tal que
.
Informações dadas: a base é
Pergunta: determinar o número (real)
Passo 2
Vamos começar traduzindo a definição de logaritmo para uma equação exponencial. A definição diz:
se, e somente se,
. Então, se chamarmos
,
isso é equivalente a escrever a equação exponencial
isso é equivalente a escrever a equação exponencial
Passo 3
Explique por que vamos reescrever as bases: é útil expressar
e
em potências de números primos para manipular potências com regras simples. Observação:
Também note que
. Usando essas igualdades podemos reescrever a equação do passo anterior.
Passo 4
Substituindo as potências no lado esquerdo e direito obtemos, exibindo os passos:
e
Portanto a equação
fica
Passo 5
Aqui temos uma potência de
igual a uma potência de
. Como
e
são bases diferentes (números primos distintos), não podemos igualar expoentes diretamente — precisamos aplicar uma função que permita “trazer” os expoentes para frente: o logaritmo (qualquer base serve, vou usar o logaritmo natural
). Aplicando
em ambos os lados:
Usando a propriedade do logaritmo
, temos
Passo 6
Agora isolamos
. Dividindo ambos os lados por
,
Aqui usei também a propriedade de cancelamento do fator
. Essa expressão é correta e já é uma forma exata do logaritmo pedido.
Passo 7
Podemos também escrever essa resposta usando a fórmula de mudança de base do logaritmo:
. Assim
Ou seja,
. Se quiser uma aproximação numérica rápida (só para intuição):
, então
.