Exercício 0.11 Há uma lenda que credita a invenção do xadrez a um brâmane de uma corte indiana, que, atendendo a um pedido do rei, inventou o jogo para demonstrar o valor da inteligência. O rei, encantado com o invento, ofereceu ao brâmane a escolha de uma recompensa. De acordo com essa lenda, o inventor do jogo de xadrez pediu ao rei que a recompensa fosse paga em grãos de arroz da seguinte maneira: 1 grão para a casa 1 do tabuleiro, 2 grãos para a casa 2, 4 para a casa 3, 8 para a casa 4 e assim sucessivamente. Ou seja, a quantidade de grãos para cada casa do tabuleiro correspondia ao dobro da quantidade da casa imediatamente anterior.
a) De acordo com a lenda, qual e quantidade de grãos de arroz correspondente a casa 6 do tabuleiro? ’
b) Escreva uma função que expresse a quantidade de graos de arroz em funçõ do núumero x da casa do tabuleiro.
c) Escreva, na forma de potência, quantos grãos de arroz devem ser colocados na última casa do tabuleiro de xadrez.

Passo 1

O enunciado diz que a recompensa é dada colocando grãos de arroz nas casas de um tabuleiro de xadrez de forma que cada casa receba o dobro da casa anterior. Dados e perguntas que o enunciado fornece:
  • A primeira casa recebe 1 grão.
  • A segunda casa recebe 2 grãos.
  • A terceira casa recebe 4 grãos.
  • A quarta casa recebe 8 grãos.
  • Em geral, cada casa recebe o dobro da casa imediatamente anterior.
    As perguntas são:
    a) Qual é a quantidade de grãos correspondente à casa 6 do tabuleiro?
    b) Escrever uma função que expresse a quantidade de grãos em função do número x da casa do tabuleiro.
    c) Escrever, na forma de potência, quantos grãos devem ser colocados na última casa do tabuleiro de xadrez.

Passo 2

Vamos identificar o padrão numérico observando as primeiras casas (vou montar a sequência e explicar devagarinho):
  • Casa 1: 1 grão.
  • Casa 2: 2 grãos (que é 2 vezes 1).
  • Casa 3: 4 grãos (que é 2 vezes 2).
  • Casa 4: 8 grãos (que é 2 vezes 4).
    Esse tipo de sequência onde cada termo é o dobro do anterior é chamada de progressão geométrica com razão 2. Aqui o papel da “razão” é: ao passar de uma casa para a próxima, multiplicamos por 2.

Passo 3

Explicando potências (conceito necessário):
  • Uma potência \,2^{k}\, significa multiplicar 2 por si mesmo k vezes. Por exemplo, \,2^{3}=2\cdot2\cdot2=8.
  • Uma observação importante: \,2^{0}=1 (por definição das potências).
    No nosso contexto, a casa 1 tem 1 grão, e 1=2^{0}. Isso sugere que o número de grãos na casa n seja uma potência de 2 com expoente deslocado.

Passo 4

Derivando a fórmula geral com atenção aos índices:
  • Denotemos por \,a_n\, o número de grãos na casa n.
  • Observando: \,a_1=1=2^{0}, \,a_2=2=2^{1}, \,a_3=4=2^{2}.
    Percebe-se que o expoente é sempre n-1. Portanto a fórmula geral é
a_n = 2^{\,n-1}.
Vou explicar por que isso é consistente: se a_n=2^{n-1} então
a_{n+1}=2^{(n+1)-1}=2^{n}=2\cdot2^{n-1}=2\cdot a_n,
ou seja, cada termo é o dobro do anterior, como exige o enunciado. Beleza!

Passo 5

Respondendo a parte (a) passo a passo: queremos a casa 6. Usamos a fórmula com n=6:
a_6 = 2^{6-1} = 2^{5}.
Agora calculamos 2^{5} por dupla explicação (doubling e potência): sequência de dobrar: 1,2,4,8,16,32. Em potência: 2^{5}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32. Logo a casa 6 tem 32 grãos.

Passo 6

Respondendo a parte (b): transformamos a expressão a_n numa função de uma variável x (onde x é o número da casa). Escrevemos:
f(x)=2^{\,x-1},
com a observação sobre domínio: na realidade x representa casas, então x é geralmente um inteiro positivo entre 1 e 64 (inclusive), porque um tabuleiro de xadrez tem 64 casas.

Passo 7

Respondendo a parte (c): a última casa do tabuleiro é a casa 64. Aplicando a fórmula com x=64 obtemos, em forma de potência,
f(64)=2^{64-1}=2^{63}.
Portanto, a quantidade de grãos na última casa, escrita na forma de potência, é 2^{63}. (Se quiser ter uma ideia do tamanho, isso é um número enorme — mas o enunciado pediu a forma de potência, então 2^{63} é o que precisamos.)

Resposta

a) 32
b) f(x)=2^{\,x-1}
c) 2^{63}

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