Exercício 0.11 Há uma lenda que credita a invenção do xadrez a um brâmane de uma corte indiana, que, atendendo a um pedido do rei, inventou o jogo para demonstrar o valor da inteligência. O rei, encantado com o invento, ofereceu ao brâmane a escolha de uma recompensa. De acordo com essa lenda, o inventor do jogo de xadrez pediu ao rei que a recompensa fosse paga em grãos de arroz da seguinte maneira: 1 grão para a casa 1 do tabuleiro, 2 grãos para a casa 2, 4 para a casa 3, 8 para a casa
assim sucessivamente. Ou seja, a quantidade de grãos para cada casa do tabuleiro correspondia ao dobro da quantidade da casa imediatamente anterior.
a) De acordo com a lenda, qual e quantidade de grãos de arroz correspondente a casa 6 do tabuleiro? ’
b) Escreva uma função que expresse a quantidade de graos de arroz em funçõ do núumero
da casa do tabuleiro.
c) Escreva, na forma de potência, quantos grãos de arroz devem ser colocados na última casa do tabuleiro de xadrez.
a) De acordo com a lenda, qual e quantidade de grãos de arroz correspondente a casa 6 do tabuleiro? ’
b) Escreva uma função que expresse a quantidade de graos de arroz em funçõ do núumero
c) Escreva, na forma de potência, quantos grãos de arroz devem ser colocados na última casa do tabuleiro de xadrez.
Passo 1
O enunciado diz que a recompensa é dada colocando grãos de arroz nas casas de um tabuleiro de xadrez de forma que cada casa receba o dobro da casa anterior. Dados e perguntas que o enunciado fornece:
- A primeira casa recebe
grão. - A segunda casa recebe
grãos. - A terceira casa recebe
grãos. - A quarta casa recebe
grãos. - Em geral, cada casa recebe o dobro da casa imediatamente anterior.
As perguntas são:
a) Qual é a quantidade de grãos correspondente à casado tabuleiro?
b) Escrever uma função que expresse a quantidade de grãos em função do númeroda casa do tabuleiro.
c) Escrever, na forma de potência, quantos grãos devem ser colocados na última casa do tabuleiro de xadrez.
Passo 2
Vamos identificar o padrão numérico observando as primeiras casas (vou montar a sequência e explicar devagarinho):
- Casa
: grão. - Casa
: grãos (que é vezes ). - Casa
: grãos (que é vezes ). - Casa
: grãos (que é vezes ).
Esse tipo de sequência onde cada termo é o dobro do anterior é chamada de progressão geométrica com razão. Aqui o papel da “razão” é: ao passar de uma casa para a próxima, multiplicamos por .
Passo 3
Explicando potências (conceito necessário):
- Uma potência
significa multiplicar por si mesmo vezes. Por exemplo, . - Uma observação importante:
(por definição das potências).
No nosso contexto, a casatem grão, e . Isso sugere que o número de grãos na casa seja uma potência de com expoente deslocado.
Passo 4
Derivando a fórmula geral com atenção aos índices:
- Denotemos por
o número de grãos na casa . - Observando:
, , .
Percebe-se que o expoente é sempre. Portanto a fórmula geral é
Vou explicar por que isso é consistente: se
então
ou seja, cada termo é o dobro do anterior, como exige o enunciado. Beleza!
Passo 5
Respondendo a parte (a) passo a passo: queremos a casa
. Usamos a fórmula com
:
Agora calculamos
por dupla explicação (doubling e potência): sequência de dobrar:
. Em potência:
. Logo a casa
tem
grãos.
Passo 6
Respondendo a parte (b): transformamos a expressão
numa função de uma variável
(onde
é o número da casa). Escrevemos:
com a observação sobre domínio: na realidade
representa casas, então
é geralmente um inteiro positivo entre
e
(inclusive), porque um tabuleiro de xadrez tem
casas.
Passo 7
Respondendo a parte (c): a última casa do tabuleiro é a casa
. Aplicando a fórmula com
obtemos, em forma de potência,
Portanto, a quantidade de grãos na última casa, escrita na forma de potência, é
. (Se quiser ter uma ideia do tamanho, isso é um número enorme — mas o enunciado pediu a forma de potência, então
é o que precisamos.)
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)