Exercício 0.10 Luiz ingeriu 500 mg de amoxicilina às 8 h . Suponha que a meia-vida dessa substância é de aproximadamente 1 h .
a) Determine a massa dessa substância no organismo de Luiz às 9 h ,
.
b) Qual é a massa restante no organismo de Luiz após t horas da ingestão do remédio?
a) Determine a massa dessa substância no organismo de Luiz às 9 h ,
b) Qual é a massa restante no organismo de Luiz após t horas da ingestão do remédio?
Passo 1
O enunciado diz que Luiz ingeriu
mg de amoxicilina às
h e que a meia-vida dessa substância é de aproximadamente
h. As perguntas são:
a) Determinar a massa da substância no organismo de Luiz às
h,
h e
h.
b) Determinar a massa restante no organismo de Luiz após horas da ingestão do remédio.
b) Determinar a massa restante no organismo de Luiz após
Informações úteis fornecidas:
- Massa inicial no instante da ingestão (às
h): mg. - Meia-vida:
h. - Tempo
será contado em horas a partir de h (ou seja, corresponde a h, etc.).
Passo 2
O conceito de meia-vida: a meia-vida é o tempo que leva para a quantidade de uma substância reduzir à metade. Se a meia-vida é
, então a cada intervalo de tempo igual a
a massa se divide por
.
Fórmula geral usando a ideia de “metade a cada
”:
Explicando a fórmula:
-
é a massa que sobra após horas desde a ingestão. -
é a massa inicial (aqui mg). -
indica quantas vezes a massa foi reduzida pela metade: se acontece uma halving, se for duas vezes, etc.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui
mg e
h, então
. Logo a fórmula simplifica para
Importante:
é o número de horas passadas desde as
h.
Passo 4
Cálculos específicos pedindo em (a):
- Para
h temos . Substituindo:
Detalhe da conta: dividir
por
dá
.
- Para
h temos . Substituindo:
Detalhe:
, então
.
- Para
h temos . Substituindo:
Detalhe:
, então
.
Passo 5
(Explicação alternativa, útil para entender outras formas de calcular) Modelagem exponencial contínua: podemos escrever a decaída como
onde
é a constante de decaimento. A relação entre
e a meia-vida
é
No nosso caso
h, então
e obtemos
Essa expressão é equivalente a
, porque
. Serve para ver que tanto a forma com base
quanto a forma com
são consistentes.
Passo 6
Verificação rápida e interpretação: para
(instantâneo da ingestão) a fórmula dá
mg, como esperado. À medida que
cresce muito,
tende a
(ou seja, o corpo elimina progressivamente a substância).
Resposta
(a)
(b) onde
é o número de horas após as
h.
(b)