Exercício 0.10 Luiz ingeriu 500 mg de amoxicilina às 8 h . Suponha que a meia-vida dessa substância é de aproximadamente 1 h .
a) Determine a massa dessa substância no organismo de Luiz às 9 h , 10 \mathrm{~h} e 11 \mathrm{~h}.
b) Qual é a massa restante no organismo de Luiz após t horas da ingestão do remédio?

Passo 1

O enunciado diz que Luiz ingeriu 500 mg de amoxicilina às 8 h e que a meia-vida dessa substância é de aproximadamente 1 h. As perguntas são:
a) Determinar a massa da substância no organismo de Luiz às 9 h, 10 h e 11 h.
b) Determinar a massa restante no organismo de Luiz após t horas da ingestão do remédio.
Informações úteis fornecidas:
  • Massa inicial no instante da ingestão (às 8 h): M_0 = 500 mg.
  • Meia-vida: h_{1/2} = 1 h.
  • Tempo t será contado em horas a partir de 8 h (ou seja, t=1 corresponde a 9 h, etc.).

Passo 2

O conceito de meia-vida: a meia-vida é o tempo que leva para a quantidade de uma substância reduzir à metade. Se a meia-vida é h_{1/2}, então a cada intervalo de tempo igual a h_{1/2} a massa se divide por 2.
Fórmula geral usando a ideia de “metade a cada h_{1/2}”:
M(t)=M_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{h_{1/2}}}
Explicando a fórmula:
  • M(t) é a massa que sobra após t horas desde a ingestão.
  • M_0 é a massa inicial (aqui 500 mg).
  • \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{h_{1/2}}} indica quantas vezes a massa foi reduzida pela metade: se \frac{t}{h_{1/2}}=1 acontece uma halving, se for 2 duas vezes, etc.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui M_0=500 mg e h_{1/2}=1 h, então \frac{t}{h_{1/2}}=t. Logo a fórmula simplifica para
M(t)=500\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t}.
Importante: t é o número de horas passadas desde as 8 h.

Passo 4

Cálculos específicos pedindo em (a):
  • Para 9 h temos t=1. Substituindo:
M(1)=500\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}=500\cdot\tfrac{1}{2}= \tfrac{500}{2}=250\\ \mathrm{mg}.
Detalhe da conta: dividir 500 por 2 250.
  • Para 10 h temos t=2. Substituindo:
M(2)=500\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=500\cdot\tfrac{1}{4}= \tfrac{500}{4}=125\\ \mathrm{mg}.
Detalhe: \left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}, então 500/4=125.
  • Para 11 h temos t=3. Substituindo:
M(3)=500\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=500\cdot\tfrac{1}{8}= \tfrac{500}{8}=62{,}5\\ \mathrm{mg}.
Detalhe: \left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}, então 500/8=62{,}5.

Passo 5

(Explicação alternativa, útil para entender outras formas de calcular) Modelagem exponencial contínua: podemos escrever a decaída como
M(t)=M_0 e^{-k t},
onde k é a constante de decaimento. A relação entre k e a meia-vida h_{1/2} é
\left(\tfrac{1}{2}\right)=e^{-k h_{1/2}}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln 2}{h_{1/2}}.
No nosso caso h_{1/2}=1 h, então k=\ln 2 e obtemos
M(t)=500e^{-(\ln 2)\,t}.
Essa expressão é equivalente a 500\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t}, porque e^{-\ln 2}=(1/2). Serve para ver que tanto a forma com base 1/2 quanto a forma com e são consistentes.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação: para t=0 (instantâneo da ingestão) a fórmula dá M(0)=500 mg, como esperado. À medida que t cresce muito, M(t) tende a 0 (ou seja, o corpo elimina progressivamente a substância).

Resposta

(a) \text{às 9h: }250\\ \mathrm{mg},\\ \text{às 10h: }125\\ \mathrm{mg},\\ \text{às 11h: }62{,}5\\ \mathrm{mg}ààà
(b) \displaystyle M(t)=500\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t}=500e^{-(\ln 2)\,t}\\ \mathrm{mg}, onde t é o número de horas após as 8 h.

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