Uma cápsula vedada, contendo inicialmente apenas propano, está em um meio contendo apenas butano. Em certo momento, um furo é feito na cápsula, e as substâncias começam a se misturar, de forma que, no decorrer de qualquer período de 1 hora, a concentração de propano dentro da cápsula caia à metade. Determine a expressão da concentração percentual
de propano dentro da cápsula, em função do tempo
, em horas, decorrido desde o furo ser feito. Note que
(isto é, quando o furo é feito, a cápsula contém
de propano).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Informação: a cápsula contém apenas propano no instante em que o furo é feito, então a concentração percentual inicial é
. - Informação: no decorrer de qualquer período de
hora, a concentração de propano dentro da cápsula cai à metade (isto é, depois de 1 hora resta metade do que havia no início dessa hora). - Pergunta: determinar a expressão de
, a concentração percentual de propano dentro da cápsula, em função do tempo (em horas) desde que o furo foi feito.
Passo 2
Entendendo o comportamento multiplicativo (intuição):
- Quando uma quantidade sofre uma redução a uma fração fixa em cada intervalo de tempo igual, o comportamento natural é multiplicativo: se a cada hora a quantidade é multiplicada por um fator constante
, então após horas a quantidade é multiplicada por . - Aqui a cada hora a concentração cai à metade, então o fator por hora é
. - Para trabalhar de forma limpa, é útil passar para fração (não porcentagem) definindo
. Assim e a cada hora é multiplicado por .
Passo 3
Construindo a forma geral (motivo matemático):
- Pelo raciocínio multiplicativo, propondo uma solução do tipo
e usando a condição “a cada 1 hora dobra para metade”, Como sabemos que para todo , temos . - Portanto
para todo . Voltando à escala percentual,
Passo 4
Comentando a validade para tempos não inteiros e forma alternativa:
- Para
inteiro positivo a interpretação é direta: após horas sofre metades sucessivas, dando . - Para
real (por exemplo h), usamos a definição de potência fracionária (raiz) e continuidade: , que representa a fração restante após meia hora segundo o modelo de decaimento exponencial. - Forma equivalente em termos da exponencial natural: escrevendo
e exigindo dá então que é algebraicamente igual a .
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar:
- Após
horas: . - Após
hora: . - Esses exemplos mostram que a fórmula funciona para inteiros e frações de hora e que o modelo é o do decaimento exponencial com meia-vida
hora.