Uma cápsula vedada, contendo inicialmente apenas propano, está em um meio contendo apenas butano. Em certo momento, um furo é feito na cápsula, e as substâncias começam a se misturar, de forma que, no decorrer de qualquer período de 1 hora, a concentração de propano dentro da cápsula caia à metade. Determine a expressão da concentração percentual P(t) de propano dentro da cápsula, em função do tempo t, em horas, decorrido desde o furo ser feito. Note que P(0)=100 (isto é, quando o furo é feito, a cápsula contém 100 \% de propano).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Informação: a cápsula contém apenas propano no instante em que o furo é feito, então a concentração percentual inicial é P(0)=100.
  • Informação: no decorrer de qualquer período de 1 hora, a concentração de propano dentro da cápsula cai à metade (isto é, depois de 1 hora resta metade do que havia no início dessa hora).
  • Pergunta: determinar a expressão de P(t), a concentração percentual de propano dentro da cápsula, em função do tempo t (em horas) desde que o furo foi feito.

Passo 2

Entendendo o comportamento multiplicativo (intuição):
  • Quando uma quantidade sofre uma redução a uma fração fixa em cada intervalo de tempo igual, o comportamento natural é multiplicativo: se a cada hora a quantidade é multiplicada por um fator constante a, então após t horas a quantidade é multiplicada por a^t.
  • Aqui a cada hora a concentração cai à metade, então o fator por hora é a=\tfrac{1}{2}.
  • Para trabalhar de forma limpa, é útil passar para fração (não porcentagem) definindo p(t)=\dfrac{P(t)}{100}. Assim p(0)=1 e a cada hora p é multiplicado por \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Construindo a forma geral (motivo matemático):
  • Pelo raciocínio multiplicativo, propondo uma solução do tipo p(t)=a^t e usando a condição “a cada 1 hora dobra para metade”, p(t+1)=a^{t+1}=a\cdot a^t=a\cdot p(t).Como sabemos que p(t+1)=\tfrac{1}{2}p(t) para todo t, temos a=\tfrac{1}{2}.
  • Portanto p(t)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^t para todo t. Voltando à escala percentual, P(t)=100\cdot p(t)=100\left(\tfrac{1}{2}\right)^t.

Passo 4

Comentando a validade para tempos não inteiros e forma alternativa:
  • Para t inteiro positivo a interpretação é direta: após n horas sofre n metades sucessivas, dando \left(\tfrac{1}{2}\right)^n.
  • Para t real (por exemplo t=0,5 h), usamos a definição de potência fracionária (raiz) e continuidade: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{0,5}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, que representa a fração restante após meia hora segundo o modelo de decaimento exponencial.
  • Forma equivalente em termos da exponencial natural: escrevendo P(t)=100e^{-kt} e exigindo P(1)=50 100e^{-k}=50\quad\Rightarrow\quad e^{-k}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad k=\ln 2,então P(t)=100e^{-t\ln 2},que é algebraicamente igual a 100\left(\tfrac{1}{2}\right)^t.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar:
  • Após 2 horas: P(2)=100\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=100\cdot\tfrac{1}{4}=25\%.
  • Após 0,5 hora: P(0,5)=100\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0,5}=100/\sqrt{2}\approx70{,}71\%.
  • Esses exemplos mostram que a fórmula funciona para inteiros e frações de hora e que o modelo é o do decaimento exponencial com meia-vida 1 hora.

Resposta

P(t)=100\left(\tfrac{1}{2}\right)^t

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