Explicando a técnica que vou usar (pela definição): cada integral do tipo \displaystyle\int t e^{-st}\,dt ou \displaystyle\int e^{-st}\,dt será calculada por integração por partes ou por antiderivada direta. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhe-se u para simplificar ao derivar e dv para ser fácil de integrar. Aqui é conveniente tomar u=t e dv=e^{-st}dt quando aparecer t e^{-st}.
Passo 3
Calcular a primeira integral
I_1=\int_{0}^{1} t\,e^{-st}\,dt.
Usando integração por partes com u=t e dv=e^{-st}dt:
du=dt.
v=\displaystyle\int e^{-st}dt = -\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando a fórmula,