Calcule pela definição as seguintes transformadas de Laplace:
f(t)= \begin{cases}t, & 0 \leq t<1, \\\\ 2-t, & 1 \leq t<2, \\\\ 0, & 2 \leq t<\infty .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular pela definição a transformada de Laplace da função por partes
f(t)= \begin{cases} t, & 0 \leq t<1,\\[4pt] 2-t, & 1 \leq t<2,\\[4pt] 0, & 2 \leq t<\infty . \end{cases}
As informações relevantes são:
  • A transformada de Laplace é definida por \mathcal{L}\{f\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • A função é nula para t\ge 2, logo a integral se reduz a integrais sobre os intervalos [0,1) e [1,2).
  • Portanto vamos calcular
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{1} t\,e^{-st}\,dt+\int_{1}^{2} (2-t)\,e^{-st}\,dt.]

Passo 2

Explicando a técnica que vou usar (pela definição): cada integral do tipo \displaystyle\int t e^{-st}\,dt ou \displaystyle\int e^{-st}\,dt será calculada por integração por partes ou por antiderivada direta. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhe-se u para simplificar ao derivar e dv para ser fácil de integrar. Aqui é conveniente tomar u=t e dv=e^{-st}dt quando aparecer t e^{-st}.

Passo 3

Calcular a primeira integral
I_1=\int_{0}^{1} t\,e^{-st}\,dt.
Usando integração por partes com u=t e dv=e^{-st}dt:
  • du=dt.
  • v=\displaystyle\int e^{-st}dt = -\frac{1}{s}e^{-st}.
    Aplicando a fórmula,
I_1=\left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{1} + \frac{1}{s}\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt.
A integral remanescente é simples:
\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt = \left.-\frac{1}{s}e^{-st}\right|_{0}^{1} = -\frac{1}{s}e^{-s} + \frac{1}{s}.
Substituindo em I_1:
I_1=-\frac{1}{s}e^{-s}-0 + \frac{1}{s}\left(-\frac{1}{s}e^{-s}+\frac{1}{s}\right).
Simplificando:
I_1=\frac{1}{s^2}-\frac{s+1}{s^2}e^{-s}.
(uma forma equivalente é I_1=\dfrac{1-(s+1)e^{-s}}{s^2}.)

Passo 4

Calcular a segunda integral
I_2=\int_{1}^{2} (2-t)\,e^{-st}\,dt.
Separei em duas integrais:
I_2 = 2\int_{1}^{2} e^{-st}\,dt - \int_{1}^{2} t\,e^{-st}\,dt.
Calcule a primeira parte:
2\int_{1}^{2} e^{-st}\,dt = 2\left.-\frac{1}{s}e^{-st}\right|_{1}^{2} = \frac{2}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr).
Agora calcule \displaystyle\int_{1}^{2} t\,e^{-st}\,dt novamente por partes (mesma escolha u=t, dv=e^{-st}dt):
  • v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}.
    Portanto
\int_{1}^{2} t\,e^{-st}\,dt = \left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{1}^{2} + \frac{1}{s}\int_{1}^{2} e^{-st}\,dt.
Já sabemos \displaystyle\int_{1}^{2} e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-2s} + \frac{1}{s}e^{-s}. Assim
\int_{1}^{2} t\,e^{-st}\,dt = -\frac{2}{s}e^{-2s} + \frac{1}{s}e^{-s} + \frac{1}{s}\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-2s}+\frac{1}{s}e^{-s}\Bigr).
Agrupando termos:
\int_{1}^{2} t\,e^{-st}\,dt = -\frac{2s+1}{s^2}e^{-2s} + \frac{s+1}{s^2}e^{-s}.
Agora volte a I_2:
I_2 = \frac{2}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr) -\Bigl(-\frac{2s+1}{s^2}e^{-2s} + \frac{s+1}{s^2}e^{-s}\Bigr).
Simplificando termo a termo:
  • Coeficiente de e^{-s}: \dfrac{2}{s}-\dfrac{s+1}{s^2} = \dfrac{s-1}{s^2}.
  • Coeficiente de e^{-2s}: -\dfrac{2}{s} + \dfrac{2s+1}{s^2} = \dfrac{1}{s^2}.
    Logo
I_2=\frac{s-1}{s^2}e^{-s}+\frac{1}{s^2}e^{-2s}.

Passo 5

Somar I_1 e I_2 para obter \mathcal{L}\{f\}(s):
\mathcal{L}\{f\}(s)=I_1+I_2 =\left(\frac{1}{s^2}-\frac{s+1}{s^2}e^{-s}\right) +\left(\frac{s-1}{s^2}e^{-s}+\frac{1}{s^2}e^{-2s}\right).
Agrupando os termos com e^{-s}:
-\frac{s+1}{s^2}e^{-s}+\frac{s-1}{s^2}e^{-s} = -\frac{2}{s^2}e^{-s}.
Portanto
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{2}{s^2}e^{-s}+\frac{1}{s^2}e^{-2s}.
Fatorando \dfrac{1}{s^2}:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s^2}\bigl(1-2e^{-s}+e^{-2s}\bigr) =\frac{(1-e^{-s})^2}{s^2}.
Observação final rápida: essa expressão vale para os valores de s onde a integral da transformada converge, tipicamente \Re(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{(1-e^{-s})^2}{s^2}

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