Sabendo que
\operatorname{cosh} (b t)=\frac{1}{2}\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) \quad \text { e } \quad \operatorname{sinh} (b t)=\frac{1}{2}\left(e^{b t}-e^{-b t}\right) .
use a linearidade da transformada de Laplace e a transformada de e^{ \pm b t} para calcular a transformada de Laplace de:
f(t)=\operatorname{cosh} (b t).

Passo 1

O enunciado nos dá as definições
\operatorname{cosh}(bt)=\frac{1}{2}\bigl(e^{bt}+e^{-bt}\bigr)
e pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=\operatorname{cosh}(bt).
Informações e pedido claros:
  • A função a transformar é f(t)=\operatorname{cosh}(bt).
  • Queremos \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
  • Vou usar a linearidade da transformada de Laplace e a transformada conhecida de e^{at}.

Passo 2

Recordando a linearidade da transformada de Laplace: se g(t) e h(t) têm transformadas e A,B são constantes, então
\mathcal{L}\{A g(t)+B h(t)\}(s)=A\,\mathcal{L}\{g\}(s)+B\,\mathcal{L}\{h\}(s).
Isto vem diretamente da definição integral, porque a integral é linear (soma e fator constante saem da integral).
Também precisamos da transformada de e^{at}. Calculemos-a rapidamente para fixar a fórmula: para a constante,
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt.
Essa integral é uma integral geométrica que converge se e somente se \operatorname{Re}(s-a)>0, isto é, se \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a). Quando converge,
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-a}.
Portanto
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \text{para } \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a).

Passo 3

Agora aplicamos isso a \operatorname{cosh}(bt)=\dfrac{1}{2}\bigl(e^{bt}+e^{-bt}\bigr). Usando linearidade:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bt)\}(s)=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{bt}\}(s)+\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{-bt}\}(s).
Pelo resultado do passo anterior:
\mathcal{L}\{e^{bt}\}(s)=\frac{1}{s-b}\quad\text{e}\quad \mathcal{L}\{e^{-bt}\}(s)=\frac{1}{s+b},
com convergência quando \operatorname{Re}(s)>\max\{b,-b\}=\lvert b\rvert. Então
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bt)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s+b}\right).

Passo 4

Vamos simplificar a expressão obtida. Somando as frações:
\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s+b}=\frac{(s+b)+(s-b)}{(s-b)(s+b)}=\frac{2s}{s^{2}-b^{2}}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}-b^{2}}.
A condição de convergência permanece \operatorname{Re}(s)>\lvert b\rvert.

Passo 5

Resumo do raciocínio (para lembrar na hora da prova): escreva \operatorname{cosh} como média de exponenciais, aplique linearidade da transformada e use \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}. Faça a soma das frações com cuidado e simplifique para obter a forma final.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}-b^{2}},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>\lvert b\rvert

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