Sabendo que
use a linearidade da transformada de Laplace e a transformada de
para calcular a transformada de Laplace de:
.
Passo 1
O enunciado nos dá as definições
e pede para calcular a transformada de Laplace de
.
Informações e pedido claros:
- A função a transformar é
. - Queremos
. - Vou usar a linearidade da transformada de Laplace e a transformada conhecida de
.
Passo 2
Recordando a linearidade da transformada de Laplace: se
e
têm transformadas e
são constantes, então
Isto vem diretamente da definição integral, porque a integral é linear (soma e fator constante saem da integral).
Também precisamos da transformada de
. Calculemos-a rapidamente para fixar a fórmula: para
constante,
Essa integral é uma integral geométrica que converge se e somente se
, isto é, se
. Quando converge,
Portanto
Passo 3
Agora aplicamos isso a
. Usando linearidade:
Pelo resultado do passo anterior:
com convergência quando
. Então
Passo 4
Vamos simplificar a expressão obtida. Somando as frações:
Multiplicando por
obtemos
A condição de convergência permanece
.
Passo 5
Resumo do raciocínio (para lembrar na hora da prova): escreva
como média de exponenciais, aplique linearidade da transformada e use
. Faça a soma das frações com cuidado e simplifique para obter a forma final.