Calcule pela definição as seguintes transformadas de Laplace:
f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<\pi, \\\\ 0, & \pi \leq t<\infty .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace, calculada pela definição, da função por partes
f(t)=\begin{cases}1, & 0\le t<\pi,\\[4pt] 0, & \pi\le t<\infty.\end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • f(t)=1 em [0,\pi).
  • f(t)=0 para t\ge\pi.
    A tarefa é aplicar a definição da transformada de Laplace e obter uma expressão explícita para \mathcal{L}\{f\}(s).]

Passo 2

Recordando a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (com t\ge0) define-se
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde s é o parâmetro (geralmente complexo). Aqui t é a variável de integração. É importante pensar sobre convergência: se a integral for sobre um intervalo finito (como aqui, efetivamente), ela converge para todo s. Vou mostrar isso na prática.

Passo 3

Como f(t)=0 para t\ge\pi, a integral na definição reduz-se a um integral em intervalo finito:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt=\int_{0}^{\pi} e^{-st}\cdot 1\,dt=\int_{0}^{\pi} e^{-st}\,dt.
Expliquei explicitamente por que a integral de 0 a \infty virou de 0 a \pi: porque para t\ge\pi o integrando é zero.

Passo 4

Calcular a integral para s\neq 0. A primitiva de e^{-st} em relação a t é -\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim, avaliando de 0 a \pi,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=0}^{t=\pi} =-\frac{1}{s}e^{-s\pi}-\left(-\frac{1}{s}e^{0}\right) =-\frac{e^{-s\pi}}{s}+\frac{1}{s}.
Reescrevendo de forma mais agradável,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1-e^{-s\pi}}{s},\qquad s\neq 0.

Passo 5

Tratar o caso s=0 separadamente, porque a expressão obtida tem divisão por s. Para s=0 a definição dá diretamente
\mathcal{L}\{f\}(0)=\int_{0}^{\pi} e^{0}\,dt=\int_{0}^{\pi}1\,dt=\pi.
Verificação de consistência: o limite da expressão para s\to 0 deve coincidir com \pi. Usando L’Hôpital ou expansão em série,
\lim_{s\to 0}\frac{1-e^{-s\pi}}{s}=\lim_{s\to 0}\frac{\pi e^{-s\pi}}{1}=\pi,
logo a expressão tem uma singularidade removível em s=0 e o valor contínuo é \pi.

Passo 6

Comentário sobre o domínio: como a integral foi sobre um intervalo finito, a fórmula é válida para todos os s (complexos) exceto que em s=0 há que definir o valor pelo limite. Assim a transformada é dada pela função racional-exponencial obtida, com singularidade removível em s=0.

Passo 7

Resumo didático e dica prática para a prova: quando f é o indicador do intervalo [0,a) (aqui a=\pi), a transformada é sempre
\mathcal{L}\{\mathbf{1}_{[0,a)}\}(s)=\int_{0}^{a} e^{-st}\,dt=\frac{1-e^{-as}}{s},
com valor em s=0 igual a a. Decorando essa forma evita integrar cada vez; basta substituir a.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\dfrac{1-e^{-s\pi}}{s} para s\neq 0.
\mathcal{L}\{f\}(0)=\pi.

Exercícios relacionados