Calcule a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{12}{s^{4}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace inversa de \dfrac{12}{s^{4}}. Ou seja, encontrar a função de tempo f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{12}{s^{4}}.
Informação dada: o numerador é 12 e o denominador é s^{4}.

Passo 2

Lembra da fórmula básica para potências de t: para todo inteiro n\ge 0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Explicando cada símbolo:
  • t é a variável de tempo (a função que queremos).
  • n! é o fatorial de n (produto 1\cdot2\cdots n).
  • s é a variável da transformada de Laplace.
    Essa fórmula diz que a transformada de Laplace de t^{n} é uma constante multiplicando 1/s^{n+1}. A partir disso, a transformada inversa é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{n+1}}\right\}=\frac{t^{n}}{n!}.

Passo 3

Agora vamos aplicar a fórmula ao caso \dfrac{12}{s^{4}}.
Escrevemos \dfrac{12}{s^{4}}=12\cdot\dfrac{1}{s^{4}}. Compare com \dfrac{1}{s^{n+1}}: aqui n+1=4, logo n=3.
Pela fórmula da inversa,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{4}}\right\}=\frac{t^{3}}{3!}=\frac{t^{3}}{6}.
Multiplicando pelo fator 12,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{12}{s^{4}}\right\}=12\cdot\frac{t^{3}}{6}=\frac{12}{6}\,t^{3}=2\,t^{3}.

Passo 4

Verificação rápida (pra ficar confiante): calcule a transformada direto de 2t^{3}:
\mathcal{L}\{2t^{3}\}=2\cdot\frac{3!}{s^{4}}=2\cdot\frac{6}{s^{4}}=\frac{12}{s^{4}},
que coincide com o que foi dado. Então está correto.

Resposta

2t^{3}

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