Calcule d y / d x, se y=f(x) é definida implicitamente pela equação
e^x y-x^3+3 y^2=11

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^x y - x^3 + 3 y^2 = 11
definindo y=f(x), e pede dydx. O conteúdo necessário é diferenciação implícita, usando regra da cadeia e regra do produto.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x:
ddxl(e^x yr);-;ddxl(x^3r);+;ddxl(3y^2r);=;ddx(11)
Calculando termo a termo:
ddx(e^x y) = e^x y,ddx(x y) = e^x y(y + x,y'),
ddx(x^3) = 3x^2, ddx(3y^2) = 6y,y', ddx(11) = 0
Logo obtemos
e^x y(y + x,y') - 3x^2 + 6y,y' = 0

Passo 3

Expandindo e agrupando os termos que contêm y':
e^x y,y + e^x y,x,y' - 3x^2 + 6y,y' = 0 Longrightarrow y'l(e^x y,x + 6yr) + e^x y,y - 3x^2 = 0
Isolando o termo com y':
y'l(e^x y,x + 6yr) = 3x^2 - e^x y,y

Passo 4

Basta dividir ambos os lados por l(e^x y,x + 6yr) para encontrar y':
y' = 3x^2 - y,e^x yx,e^x y + 6y

Resposta

dydx = 3x^2 - y,e^x yx,e^x y + 6y

Exercícios relacionados