Encontre a solução geral de y^prime prime-y^prime-6 y=10 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - y' - 6y = 10e^2x
O método envolve dois blocos: encontrar a solução homogênea (via equação característica) e achar uma solução particular (por coeficientes indeterminados).

Passo 2

Para a solução homogênea escrevemos a equação característica
r^2 - r - 6 = 0
Suas raízes são r=3 e r=-2. Portanto a parte homogênea é
yh = C1 e^3x + C2 e^-2x

Passo 3

Como o termo forçante é 10e^2x e 2 não é raiz da característica, propomos
yp = A,e^2x
Então
yp' = 2A e^2x, yp'' = 4A e^2x
Substituindo em y'' - y' -6y =10e^2x vem
4A e^2x - 2A e^2x -6A e^2x =10e^2x
(4-2-6)A e^2x = -4A e^2x =10e^2x
A = -tfrac104 = -tfrac52
Logo
yp = -tfrac52e^2x

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh + yp = C1 e^3x + C2 e^-2x - tfrac52e^2x

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x - tfrac52e^2x

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