Calcule \Delta S para cada uma das seguintes mudanças do estado de 2,50 mols de um gás monoatômico perfeito para o qual C_{V \mathrm{~m}}= 1,5 R para todas as temperaturas citadas:
(a) (1,50 \mathrm{~atm}, 400 \mathrm{~K}) \rightarrow (3,00 \mathrm{~atm}, 600 \mathrm{~K})

Passo 1

Temos n=2,50 mol de um gás monoatômico com C_{V\mathrm m}=1{,}5R. O estado inicial é (p_1=1{,}50\;\mathrm{atm},\,T_1=400\;\mathrm{K}) e o final é (p_2=3{,}00\;\mathrm{atm},\,T_2=600\;\mathrm{K}). Precisamos de \Delta S=S_2-S_1 para uma transformação de gás ideal.

Passo 2

Para um gás ideal vale
\Delta S \;=\; n\,C_V\,\ln\!\biggl(\frac{T_2}{T_1}\biggr)\;+\;n\,R\,\ln\!\biggl(\frac{V_2}{V_1}\biggr).
Como C_{V\mathrm m}=1{,}5R, temos C_V=n\,C_{V\mathrm m}=2{,}50\cdot1{,}5R=3{,}75R.

Passo 3

Pela equação de estado pV=nRT segue
\frac{V_2}{V_1} =\frac{(nR\,T_2)/p_2}{(nR\,T_1)/p_1} =\frac{T_2}{T_1}\,\frac{p_1}{p_2} =\frac{600}{400}\,\frac{1{,}50}{3{,}00} =0{,}75.
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\ln\!\bigl(V_2/V_1\bigr)=\ln(0{,}75)\approx -0{,}28768
e
\ln\!\bigl(T_2/T_1\bigr)=\ln(1{,}5)\approx0{,}40547.

Passo 4

Substituindo em \Delta S:
\Delta S =2{,}50\cdot1{,}5R\cdot0{,}40547 \;+\;2{,}50\,R\cdot(-0{,}28768) =2{,}50\,R\bigl(1{,}5\cdot0{,}40547-0{,}28768\bigr) =2{,}50\,R\,(0{,}60820-0{,}28768) =2{,}50\,R\cdot0{,}32052 =0{,}80129\,R.
Como R=8{,}314\;\mathrm{J/(mol\;K)},
\Delta S\approx0{,}80129\times8{,}314=6{,}66\;\mathrm{J/K}.

Resposta

\displaystyle \Delta S \approx 6{,}66\;\mathrm{J/K}.

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