Calcule \Delta \mathrm{H}_{\text {individual, }} \Delta \mathrm{H}_{\text {total }} e \Delta \mathrm{S}_{\text {total }} quando dois blocos de ferro, um com 1,0 \mathrm{Kg} de massa a 200^{\circ} \mathrm{C}, e o outro com 0,5 \mathrm{Kg} de massa a 25^{\circ} \mathrm{C}, são colocados em contato térmico em um vaso termicamente isolado. O calor específico do ferro é 0,449 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~g}^{-1} e aproximadamente constante no intervalo de temperatura considerado.

Resolução:

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule:
  • \Delta H_{\text{individual}} (as variações de entalpia de cada bloco),
  • \Delta H_{\text{total}} (a soma das variações de entalpia do sistema isolado),
  • \Delta S_{\text{total}} (a variação total de entropia do sistema).
Dados fornecidos:
  • massa do bloco quente: m_1 = 1{,}0\\ \mathrm{kg} (inicialmente a 200^\circ\mathrm{C}),
  • massa do bloco frio: m_2 = 0{,}5\\ \mathrm{kg} (inicialmente a 25^\circ\mathrm{C}),
  • calor específico do ferro: c = 0{,}449\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,g^{-1}}, aproximadamente constante,
  • vaso termicamente isolado (ou seja, não há troca de calor com o meio — apenas troca de calor entre os blocos).
Observações importantes que tirei do enunciado (não resolvo ainda):
  • Temperaturas iniciais: T_{1,i}=200^\circ\mathrm{C} e T_{2,i}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Como c foi dado por grama, vou converter para \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} para usar massas em kg.
  • Em problemas de entropia, devo usar temperaturas em Kelvin ao aplicar \Delta S=\int \frac{C}{T}\,dT.

Passo 2

Converter o calor específico para unidades compatíveis com \mathrm{kg}:
c = 0{,}449\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,g^{-1}} = 0{,}449\times 1000\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,kg^{-1}} = 449\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
Explicação didática: eu multiplico por 1000 porque 1\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}. Assim trabalho com m em kg e c em \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}, o que simplifica as contas.

Passo 3

Determinar a temperatura de equilíbrio T_{\text{eq}} usando conservação de energia (vaso isolado).
Princípio: o calor perdido pelo bloco quente é igual ao calor ganho pelo bloco frio:
m_1 c (T_{1,i}-T_{\text{eq}})=m_2 c (T_{\text{eq}}-T_{2,i}).
Aqui m_1 c (T_{1,i}-T_{\text{eq}}) é a energia que sai do bloco quente (positivo no lado esquerdo), e m_2 c (T_{\text{eq}}-T_{2,i}) é a energia absorvida pelo bloco frio.
Como c aparece em ambos os lados, ele se cancela. Substituindo massas e resolvendo para T_{\text{eq}}:
1{,}0\,(200-T_{\text{eq}})=0{,}5\,(T_{\text{eq}}-25).
Desenvolvendo:
200-T_{\text{eq}}=0{,}5T_{\text{eq}}-12{,}5,
200+12{,}5=1{,}5T_{\text{eq}},
T_{\text{eq}}=\frac{212{,}5}{1{,}5}=141{,}666\ldots^\circ\mathrm{C}.
Vou guardar também em Kelvin (essencial para entropia):
T_{\text{eq}}=141{,}666\ldots+273{,}15=414{,}816\ldots\\ \mathrm{K}.
Comentário amigo: calma — olha só, temperatura de equilíbrio ficou em torno de 142^\circ\mathrm{C}. Isso faz sentido: o bloco quente é o dobro da massa do frio, então o equilíbrio fica mais perto da temperatura do bloco quente.

Passo 4

Calcular \Delta H (variação de entalpia) de cada bloco.
Conceito usado: para um corpo com calor específico constante, a variação de entalpia (aproximada pelo calor trocado a pressão constante) é
\Delta H = m c \Delta T = m c (T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}).
Explico: em condições onde P é constante e não há trabalho além do térmico, a energia trocada por calor é bem aproximada pela variação de entalpia. Usamos a mesma c porque foi considerado constante.
Para o bloco quente (1):
\Delta T_1 = T_{\text{eq}}-T_{1,i}=141{,}666\ldots-200=-58{,}333\ldots\\ \mathrm{K}.
\Delta H_1 = m_1 c \Delta T_1 = 1{,}0\cdot 449 \cdot (-58{,}333\ldots) = -\frac{449\cdot 175}{3}.
Calculei \Delta H_1 exatamente como fração:
449\cdot 175 = 78\,575\quad\Rightarrow\quad \Delta H_1 = -\frac{78\,575}{3} = -26\,191{,}666\ldots\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma prática:
\Delta H_1 \approx -2{,}62\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: sinal negativo porque o bloco quente perdeu calor ao esfriar.

Passo 5

Para o bloco frio (2):
\Delta T_2 = T_{\text{eq}}-T_{2,i}=141{,}666\ldots-25=116{,}666\ldots\\ \mathrm{K}.
\Delta H_2 = m_2 c \Delta T_2 = 0{,}5\cdot 449\cdot 116{,}666\ldots = \frac{449\cdot 350}{3}\cdot\frac{1}{2} = +\frac{78\,575}{3}.
Ou numericamente:
\Delta H_2 = +26\,191{,}666\ldots\\ \mathrm{J}\approx +2{,}62\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o bloco frio ganhou exatamente o calor perdido pelo quente (o que era esperado num sistema isolado).

Passo 6

Calcular \Delta H_{\text{total}}:
\Delta H_{\text{total}}=\Delta H_1+\Delta H_2 = -26\,191{,}666\ldots + 26\,191{,}666\ldots = 0\\ \mathrm{J}.
Explicação: em um sistema isolado sem trabalho, a energia interna total (ou entalpia total aproximada) é conservada. Então a soma das variações é zero — ótimo sinal de consistência.

Passo 7

Agora calculo a variação de entropia de cada bloco. Fórmula usada:
\Delta S=\int_{T_i}^{T_f}\frac{C}{T}\,dT,
onde, para corpo com calor específico constante C=m c,
\Delta S = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Observação didática: é essencial usar temperaturas em Kelvin aqui, porque a definição de entropia envolve a razão Q/T com T absoluta.
Temperaturas em Kelvin:
T_{1,i}=200+273{,}15=473{,}15\\ \mathrm{K},
T_{2,i}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{eq}}=414{,}816\ldots\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Calcular \Delta S_1 do bloco quente:
\Delta S_1 = m_1 c \ln\!\left(\frac{T_{\text{eq}}}{T_{1,i}}\right) =449\cdot \ln\!\left(\frac{414{,}816\ldots}{473{,}15}\right).
Avaliação numérica (faça as contas com calma na prova):
\frac{414{,}816\ldots}{473{,}15}\approx 0{,}8766\quad\Rightarrow\quad \ln(0{,}8766)\approx -0{,}1315,
\Delta S_1 \approx 449\cdot (-0{,}1315)\approx -59{,}1\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Interpretação: entropia do bloco quente diminui (ele perde calor).

Passo 9

Calcular \Delta S_2 do bloco frio:
\Delta S_2 = m_2 c \ln\!\left(\frac{T_{\text{eq}}}{T_{2,i}}\right) =224{,}5\cdot \ln\!\left(\frac{414{,}816\ldots}{298{,}15}\right).
Avaliação numérica:
\frac{414{,}816\ldots}{298{,}15}\approx 1{,}3915\quad\Rightarrow\quad \ln(1{,}3915)\approx 0{,}3304,
\Delta S_2 \approx 224{,}5\cdot 0{,}3304\approx 74{,}2\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Interpretação: entropia do bloco frio aumenta (recebe calor).

Passo 10

Somar para obter \Delta S_{\text{total}}:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_1+\Delta S_2\approx -59{,}1 + 74{,}2 = 15{,}1\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Comentário final encorajador: a variação total de entropia é positiva (aproximadamente 15\\ \mathrm{J\,K^{-1}}), como esperado para um processo irreversível espontâneo de troca de calor entre corpos inicialmente a diferentes temperaturas.

Resposta

\Delta H_{\text{bloco quente}} = -2{,}62\times 10^{4}\\ \mathrm{J},\\ \Delta H_{\text{bloco frio}} = +2{,}62\times 10^{4}\\ \mathrm{J}
\Delta H_{\text{total}} = 0\\ \mathrm{J}
\Delta S_{\text{total}} \approx 15{,}1\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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