Durante quanto tempo, em média, um átomo permanecerá adsorvido em uma superficie, a 298 K , se a energia de ativação de dessorção for de (i) 20 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}, (ii) 200 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} ? Tomar \tau_{0}=0,12 \mathrm{ps}. Durante quanto tempo, em média, o mesmo átomo ficará adsorvido a 800 K ?

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o tempo médio de residência (ou tempo médio que um átomo permanece adsorvido) em duas situações: (i) energia de ativação de dessorção \;20\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\; e (ii) \;200\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\;, ambas à temperatura \;298\\ \mathrm{K}. Em seguida pede o tempo médio de residência do mesmo átomo à temperatura \;800\\ \mathrm{K} (vou fornecer esse tempo para os dois valores de energia citados).
Informações dadas e constantes que usarei:
  • \tau_{0}=0{,}12\\ \mathrm{ps} (tempo de tentativa; é o inverso da frequência de tentativa).
  • Temperaturas: \;T=298\\ \mathrm{K} e \;T=800\\ \mathrm{K}.
  • Energias de ativação: \;E_a=20\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} e \;E_a=200\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
  • Constante dos gases: \;R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Tudo o que precisamos está aqui: \tau_{0}, \;E_a, \;T e \;R. No passo seguinte eu explico a fórmula e começo as contas.

Passo 2

Qual a fórmula que usamos e por quê?
A dessorção segue uma lei do tipo Arrhenius: a taxa de dessorção é \;k=\nu\exp\!\left(-\dfrac{E_a}{k_B T}\right), onde \nu é a frequência de tentativa e k_B é a constante de Boltzmann. Como \tau=1/k (tempo médio de residência é o inverso da taxa), e \tau_{0}=1/\nu, obtemos a expressão prática que vamos usar:
\tau = \tau_{0}\,\exp\!\left(\dfrac{E_a}{R\,T}\right).
Explicação dos símbolos:
  • \tau = tempo médio de residência (s).
  • \tau_{0} = tempo de tentativa (s). Aqui nos foi dado em ps, vou converter.
  • \;E_a = energia de ativação por mol (J,mol^{-1}); se dada em kJ,mol^{-1} converto para J,mol^{-1} multiplicando por 1000.
  • \;R = constante dos gases (J,mol{-1}K{-1}). Usamos R porque E_a está em J por mol.
  • \;T = temperatura em K.
Resumo: basta calcular o expoente \dfrac{E_a}{R T}, avaliar a exponencial e multiplicar por \tau_0.

Passo 3

Conversões iniciais e números úteis:
  • Converter \tau_{0} para segundos: \tau_{0}=0{,}12\\ \mathrm{ps}=0{,}12\times10^{-12}\\ \mathrm{s}=1{,}2\times10^{-13}\\ \mathrm{s}.
  • Converter energias para J,mol^{-1}: \;20\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=20000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}, \;200\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=200000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Vou aplicar a fórmula \tau=\tau_{0}\exp\!\left(\dfrac{E_a}{R T}\right) caso a caso, mostrando o cálculo do expoente, a exponencial e o produto final.

Passo 4

Cálculo para T=298\\ \mathrm{K}, \;E_a=20\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} ( =20000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}):\n
Calcular R T:
R T = 8{,}314462618\cdot 298 \approx 2478{,}709\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Calcular o expoente:
\frac{E_a}{R T}=\frac{20000}{2478{,}709}\approx 8{,}072.
Avaliar a exponencial:
\exp(8{,}072)\approx 3{,}206\times10^{3}.
Multiplicar por \tau_{0}:
\tau = 1{,}2\times10^{-13}\cdot 3{,}206\times10^{3}\approx 3{,}85\times10^{-10}\\ \mathrm{s}.
Converter para unidades mais familiares: \;3{,}85\times10^{-10}\\ \mathrm{s}=384\\ \mathrm{ps}=0{,}384\\ \mathrm{ns}.

Passo 5

Cálculo para T=298\\ \mathrm{K}, \;E_a=200\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} ( =200000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}):\n
Usando R T já calculado ( 2478{,}709\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}):
\frac{E_a}{R T}=\frac{200000}{2478{,}709}\approx 80{,}72.
Avaliar a exponencial (número muito grande):
\exp(80{,}72)\approx 1{,}18\times10^{35}.
Multiplicar por \tau_{0}:
\tau = 1{,}2\times10^{-13}\cdot 1{,}18\times10^{35}\approx 1{,}42\times10^{22}\\ \mathrm{s}.
Converter para anos para dar intuição:
\frac{1{,}42\times10^{22}\\ \mathrm{s}}{3{,}154\times10^{7}\\ \mathrm{s\,ano^{-1}}}\approx 4{,}5\times10^{14}\\ \mathrm{anos},
ou seja, um tempo absurdamente maior que a idade do universo (ordem 10^{10} anos). Isso significa que, com \;E_a=200\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} a 298 K, o átomo praticamente nunca dessorve numa escala prática.

Passo 6

Agora T=800\\ \mathrm{K}. Primeiro calcule R T:
R T = 8{,}314462618\cdot 800 \approx 6651{,}57\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Caso \;E_a=20\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=20000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}:
\frac{E_a}{R T}=\frac{20000}{6651{,}57}\approx 3{,}0054,
\exp(3{,}0054)\approx 20{,}19,
\tau = 1{,}2\times10^{-13}\cdot 20{,}19\approx 2{,}42\times10^{-12}\\ \mathrm{s}=2{,}42\\ \mathrm{ps}.
Caso \;E_a=200\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=200000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}:
\frac{E_a}{R T}=\frac{200000}{6651{,}57}\approx 30{,}0559,
\exp(30{,}0559)\approx 1{,}13\times10^{13},
\tau = 1{,}2\times10^{-13}\cdot 1{,}13\times10^{13}\approx 1{,}36\\ \mathrm{s}.
Interpretação rápida: aumentando a temperatura para 800 K, a dessorção fica muito mais provável — para E_a=20\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} o átomo dessorve em alguns ps; para E_a=200\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} ainda o tempo médio fica da ordem de segundos (muito menor que os 10^{22}\\ \mathrm{s} a 298 K), portanto aquecer facilita muito a dessorção.

Resposta

Para \;E_a=20\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}},\ T=298\ \mathrm{K}:\ \tau\approx 3{,}85\times10^{-10}\ \mathrm{s}\ (384\ \mathrm{ps}).\nPara \(\;E_a=200\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}},\ T=298\ \mathrm{K}:\ \tau\approx 1{,}42\times10^{22}\ \mathrm{s}\ (\approx 4{,}5\times10^{14}\ \mathrm{anos}).\nPara \(\;E_a=20\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}},\ T=800\ \mathrm{K}:\ \tau\approx 2{,}42\times10^{-12}\ \mathrm{s}\ (2{,}42\ \mathrm{ps}).\nPara \(\;E_a=200\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}},\ T=800\ \mathrm{K}:\ \tau\approx 1{,}36\ \mathrm{s}.

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