Durante quanto tempo, em média, um átomo permanecerá adsorvido em uma superficie, a 298 K , se a energia de ativação de dessorção for de (i)
, (ii)
? Tomar
. Durante quanto tempo, em média, o mesmo átomo ficará adsorvido a 800 K ?
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o tempo médio de residência (ou tempo médio que um átomo permanece adsorvido) em duas situações: (i) energia de ativação de dessorção
e (ii)
, ambas à temperatura
. Em seguida pede o tempo médio de residência do mesmo átomo à temperatura
(vou fornecer esse tempo para os dois valores de energia citados).
Informações dadas e constantes que usarei:
-
(tempo de tentativa; é o inverso da frequência de tentativa). - Temperaturas:
e . - Energias de ativação:
e . - Constante dos gases:
.
Tudo o que precisamos está aqui:
,
,
e
. No passo seguinte eu explico a fórmula e começo as contas.
Passo 2
Qual a fórmula que usamos e por quê?
A dessorção segue uma lei do tipo Arrhenius: a taxa de dessorção é
, onde
é a frequência de tentativa e
é a constante de Boltzmann. Como
(tempo médio de residência é o inverso da taxa), e
, obtemos a expressão prática que vamos usar:
Explicação dos símbolos:
-
= tempo médio de residência (s). -
= tempo de tentativa (s). Aqui nos foi dado em ps, vou converter. -
= energia de ativação por mol (J,mol^{-1}); se dada em kJ,mol^{-1} converto para J,mol^{-1} multiplicando por 1000. -
= constante dos gases (J,mol{-1}K{-1}). Usamos porque está em J por mol. -
= temperatura em K.
Resumo: basta calcular o expoente
, avaliar a exponencial e multiplicar por
.
Passo 3
Conversões iniciais e números úteis:
- Converter
para segundos: - Converter energias para J,mol^{-1}:
, .
Vou aplicar a fórmula
caso a caso, mostrando o cálculo do expoente, a exponencial e o produto final.
Passo 4
Cálculo para
,
(
):\n
Calcular :
Calcular
Calcular o expoente:
Avaliar a exponencial:
Multiplicar por
:
Converter para unidades mais familiares:
Passo 5
Cálculo para
,
(
):\n
Usando já calculado (
):
Usando
Avaliar a exponencial (número muito grande):
Multiplicar por
:
Converter para anos para dar intuição:
ou seja, um tempo absurdamente maior que a idade do universo (ordem
anos). Isso significa que, com
a 298 K, o átomo praticamente nunca dessorve numa escala prática.
Passo 6
Agora
. Primeiro calcule
:
Caso
:
Caso
:
Interpretação rápida: aumentando a temperatura para 800 K, a dessorção fica muito mais provável — para
o átomo dessorve em alguns ps; para
ainda o tempo médio fica da ordem de segundos (muito menor que os
a 298 K), portanto aquecer facilita muito a dessorção.
Resposta
Para