de um gás perfeito
inicialmente a 10 atm e 600 K é submetido a um processo cíclico reversível composto por quatro etapas (ciclo de Carnot). Na primeira etapa do ciclo o gás expande-se isotermicamente até a pressão de
. Na segunda etapa o gás expande-se adiabaticamente até 300 K . Na terceira etapa o gás é comprimido isotermicamente, e por último (
etapa) comprimido adiabaticamente retornando ao seu estado inicial. Para as etapas 1 e 4 do ciclo calcule:
e
.
Passo 1
O enunciado dá um ciclo de Carnot reversível com um mol de gás perfeito e pede, apenas para as etapas 1 e 4, os valores de
e
.
Dados fornecidos (vou listar tudo explícito):
O ciclo (resumo das etapas, só para situar):
- Isotérmica reversível a
de para . - Adiabática reversível de
até . - Isotérmica reversível a
. - Adiabática reversível que comprime de
de volta a (retornando ao estado inicial).
O que exatamente é pedido:
- Para a etapa 1 (isotérmica a
, expansão ) calcular . - Para a etapa 4 (adiabática reversível que leva
a ) calcular os mesmos sete termos.
Não vou resolver nada ainda aqui — só organizei os dados e o pedido, como combinado.
Passo 2
Primeiro vou fixar convenções e fórmulas essenciais (explicando o porquê, passo a passo, sem pular etapas).
- Convenção de sinais (muito importante):
-
significa calor fornecido ao sistema. -
significa trabalho feito sobre o sistema (essa é a convenção química comum; assim, expansão espontânea aparece como ). - Primeira lei:
.
- Propriedades do gás ideal:
- Equação de estado:
. - Para processo isotérmico de gás ideal (temperatura constante),
e porque e dependem só de para gás ideal monoatômico. - Trabalho reversível isotérmico (integrando
com ):
Como
é constante na isotérmica,
. Então posso usar
Lembre que esse
é o trabalho feito sobre o sistema (positivo se comprimido, negativo se expandiu).
- Capacidade calorífica e variações de energia:
- Para um gás ideal:
. -
com .
No nosso casoentão .
- Entropia:
- Para processo reversível o mudança de entropia do sistema é
. - Entropia do vizinho (reservatório) para calor
é (sinal negativo porque o calor que entra no sistema sai do reservatório). - Para um processo adiabático reversível
. - Entropia total
. Para processos reversíveis ideais do ciclo (etapas individuais reversíveis) a soma local será zero quando calor trocado com reservatório à mesma temperatura do sistema.
- Valor de
numérico (vamos usar para cálculo):
Agora com as fórmulas e convenções claras, mando ver nos cálculos.
Passo 3
Cálculo detalhado da etapa 1 — isotérmica reversível a
, expansão de
para
.
- Relação volumes/pressões:
porque
constante na isotérmica.
- Trabalho (feito sobre o sistema) na isotérmica reversível:
Substituindo
,
e
:
Logo
Como
,
Interpretação de sinal:
significa trabalho líquido realizado pelo sistema (expansão), que faz sentido.
- Como é isotérmico para gás ideal:
- Calor trocado (pela primeira lei
):
Assim
Significado: calor absorvido pelo sistema.
- Entropia do sistema na etapa 1 (reversível, temperatura do sistema
):
- Entropia do vizinho/reservatório (assumimos o calor vem de um reservatório à
):
- Entropia total para a etapa 1:
Arredondando para apresentação: geralmente 4 algarismos significativos são bons:
Passo 4
Cálculo detalhado da etapa 4 — adiabática reversível (isentrópica) que comprime o gás de
até
, retornando ao estado inicial.
- Como é adiabática reversível:
- Variação de energia interna:
Aqui
E
.
Calcule :
Calcule
Então
Sinal positivo: energia interna do sistema aumenta (porque temperatura sobe).
- Trabalho na etapa 4: pela primeira lei
. Como , segue
Interpretação:
significa trabalho feito sobre o sistema (compressão), consistente.
- Variação de entalpia:
com
.
Calcule :
Calcule
Assim
- Entropias:
- Por ser adiabática reversível,
. - Então também
(não houve troca de calor com reservatório). - Logo
.
Passo 5
Resumo rápido dos raciocínios (checagem e intuição):
- Etapa 1: isotérmica a
, o gás absorve calor e realiza trabalho; porque não muda; entropia do sistema aumenta exatamente na mesma quantidade que a do reservatório diminui — processo reversível. - Etapa 4: adiabática reversível de compressão aquece o gás de
para ; não há calor, então toda a energia interna adquirida vem de trabalho realizado sobre o sistema; entropia não muda porque o processo é isentrópico (adiabático reversível).
Agora deixo só os números finais organizados como você pediu.
Resposta
Etapa 1 (isotérmica a
,
):
Etapa 4 (adiabática reversível, compressão
):