Portanto ao substituir obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição e precisamos manipular a expressão.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui tomamos a=x e b=2y. Aplicando a identidade:
x^{2}-4y^{2}=x^{2}-(2y)^{2}=(x-2y)(x+2y).
Passo 4
Substituindo a fatoração na fração, obtemos (sempre que x-2y\neq0):
Explicação: a simplificação por cancelamento é válida para todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Para o cálculo de limite em (4,2) isso é suficiente, porque limite envolve valores de (x,y) suficientemente próximos de (4,2) mas diferentes do ponto — ou seja, pontos com x-2y\neq0 arbitrariamente próximos.
Passo 5
Agora usamos uma propriedade fundamental: polinômios (e somas de polinômios) são funções contínuas. A função resultante x+2y é um polinômio em x e y, logo é contínua em todo ponto, inclusive em (4,2). Para uma função contínua G(x,y) vale
\lim_{(x,y)\to(4,2)} G(x,y)=G(4,2).
Como para todos os pontos suficientemente próximos (exceto a própria reta onde o original não está definido) a expressão equivale a x+2y, o limite da expressão original é o mesmo que o limite de x+2y.