Calcule e demonstre os limites.
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,2)} \frac{x^{2}-4 y^{2}}{x-2 y}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{(x,y)\to(4,2)} \frac{x^{2}-4y^{2}}{x-2y}.
Informações dadas:
  • A função considerada é F(x,y)=\dfrac{x^{2}-4y^{2}}{x-2y} (quando definida).
  • O ponto de aproximação é (x,y)=(4,2).
    O que é pedido: o valor do limite quando (x,y) tende a (4,2).

Passo 2

Primeiro tentamos a substituição direta para ver se já dá um valor:
x^{2}-4y^{2}\Big|_{(4,2)}=4^{2}-4\cdot2^{2}=16-16=0,
x-2y\Big|_{(4,2)}=4-2\cdot2=4-4=0.
Portanto ao substituir obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição e precisamos manipular a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui tomamos a=x e b=2y. Aplicando a identidade:
x^{2}-4y^{2}=x^{2}-(2y)^{2}=(x-2y)(x+2y).

Passo 4

Substituindo a fatoração na fração, obtemos (sempre que x-2y\neq0):
\frac{x^{2}-4y^{2}}{x-2y}=\frac{(x-2y)(x+2y)}{x-2y}=x+2y.
Explicação: a simplificação por cancelamento é válida para todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Para o cálculo de limite em (4,2) isso é suficiente, porque limite envolve valores de (x,y) suficientemente próximos de (4,2) mas diferentes do ponto — ou seja, pontos com x-2y\neq0 arbitrariamente próximos.

Passo 5

Agora usamos uma propriedade fundamental: polinômios (e somas de polinômios) são funções contínuas. A função resultante x+2y é um polinômio em x e y, logo é contínua em todo ponto, inclusive em (4,2). Para uma função contínua G(x,y) vale
\lim_{(x,y)\to(4,2)} G(x,y)=G(4,2).
Como para todos os pontos suficientemente próximos (exceto a própria reta onde o original não está definido) a expressão equivale a x+2y, o limite da expressão original é o mesmo que o limite de x+2y.

Passo 6

Avaliar x+2y no ponto (4,2):
x+2y\Big|_{(4,2)}=4+2\cdot2=4+4=8.
Portanto o limite vale 8.

Resposta

\;8\;

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