Como o denominador em (1,1) é diferente de zero, suspeitamos que a função seja contínua naquele ponto e que o limite seja simplesmente o valor da função em (1,1). Vamos justificar isso de forma didática.
Passo 3
Conceito útil (explicado de forma simples): funções polinomiais e combinações algébricas delas (como somas, produtos e quocientes, desde que o denominador não seja zero) são contínuas. Isso significa que, se a expressão está bem definida no ponto (denominador ≠ 0), o limite quando (x,y)\to (x_0,y_0) é o valor da expressão em (x_0,y_0). Aqui precisamos apenas garantir que a expressão esteja definida numa vizinhança de (1,1) (não apenas no ponto).
Passo 4
Fazer simplificação algébrica que ajuda a entender a função:
Justificar que a simplificação é válida numa vizinhança de (1,1): como em (1,1) temos x+y=2\neq 0, existe um raio pequeno em torno de (1,1) em que x+y continua diferente de zero. Por exemplo, se exigirmos |x-1|<\tfrac{1}{2} e |y-1|<\tfrac{1}{2}, então
Assim, em toda essa vizinhança x+y\neq0 e a simplificação para x+y vale para todos os pontos próximos a (1,1) (excetuando pontos onde x+y=0, que aqui não ocorrem na vizinhança escolhida).
Passo 6
Como a função coincide com x+y numa vizinhança de (1,1), o limite pedido é o mesmo que o limite de x+y quando (x,y)\to(1,1). A função x+y é linear (portanto contínua), logo