Calcule e demonstre os limites.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x^{2}+2 x y+y^{2}}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{x+y}.
Informações dadas:
  • A função a ser estudada é \dfrac{x^{2}+2xy+y^{2}}{x+y}.
  • O ponto de interesse é (1,1).
  • O objetivo é determinar o valor do limite quando (x,y) se aproxima de (1,1).

Passo 2

Verificar se dá para aplicar substituição direta: calcular o numerador e o denominador em (1,1).
x^{2}+2xy+y^{2}\Big|_{(1,1)} = 1^{2}+2\cdot1\cdot1+1^{2}=1+2+1=4,
x+y\Big|_{(1,1)} = 1+1=2.
Como o denominador em (1,1) é diferente de zero, suspeitamos que a função seja contínua naquele ponto e que o limite seja simplesmente o valor da função em (1,1). Vamos justificar isso de forma didática.

Passo 3

Conceito útil (explicado de forma simples): funções polinomiais e combinações algébricas delas (como somas, produtos e quocientes, desde que o denominador não seja zero) são contínuas. Isso significa que, se a expressão está bem definida no ponto (denominador ≠ 0), o limite quando (x,y)\to (x_0,y_0) é o valor da expressão em (x_0,y_0). Aqui precisamos apenas garantir que a expressão esteja definida numa vizinhança de (1,1) (não apenas no ponto).

Passo 4

Fazer simplificação algébrica que ajuda a entender a função:
x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}.
Portanto, para pontos onde x+y\neq 0,
\frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{x+y}=\frac{(x+y)^{2}}{x+y}=x+y.

Passo 5

Justificar que a simplificação é válida numa vizinhança de (1,1): como em (1,1) temos x+y=2\neq 0, existe um raio pequeno em torno de (1,1) em que x+y continua diferente de zero. Por exemplo, se exigirmos |x-1|<\tfrac{1}{2} e |y-1|<\tfrac{1}{2}, então
x>1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},\qquad y>\tfrac{1}{2},
logo
x+y>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1>0.
Assim, em toda essa vizinhança x+y\neq0 e a simplificação para x+y vale para todos os pontos próximos a (1,1) (excetuando pontos onde x+y=0, que aqui não ocorrem na vizinhança escolhida).

Passo 6

Como a função coincide com x+y numa vizinhança de (1,1), o limite pedido é o mesmo que o limite de x+y quando (x,y)\to(1,1). A função x+y é linear (portanto contínua), logo
\lim_{(x,y)\to(1,1)} (x+y) = 1+1=2.

Resposta

2

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