Calcule e demonstre os limites.
\lim _{(x, y) \rightarrow(-2,1)}(5 x+4 y)=-6

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=5x+4y e pede para calcular e demonstrar que
\lim_{(x,y)\to(-2,1)}(5x+4y)=-6.
Informações relevantes:
  • A função considerada é f(x,y)=5x+4y.
  • O ponto de interesse é (-2,1).
  • O objetivo é provar, de forma rigorosa, que o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (-2,1) é -6.

Passo 2

Avaliação direta no ponto (ver qual valor a função toma no ponto dado):
f(-2,1)=5\cdot(-2)+4\cdot 1=-10+4=-6.
Portanto o candidato ao limite é L=-6. Agora vamos demonstrar que de fato \lim_{(x,y)\to(-2,1)}f(x,y)=L usando a definição \varepsilon- \delta.

Passo 3

Definição de limite em \mathbb{R}^2 (em linguagem simples):
Dizemos que \lim_{(x,y)\to(-2,1)}f(x,y)=L se, para todo \varepsilon>0, existir \delta>0 tal que, sempre que
0<\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}<\delta,
então
|f(x,y)-L|<\varepsilon.
Aqui \sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2} é a distância entre (x,y) e (-2,1) em \mathbb{R}^2. A estratégia é estimar |f(x,y)-L| em função dessa distância e escolher \delta apropriado.

Passo 4

Cálculo e estimativa de |f(x,y)-L|:
|f(x,y)-L|=|5x+4y-(-6)|=|5x+4y+6|.
Reescrevendo em termos de deslocamentos x+2 e y-1:
|5x+4y+6|=|5(x+2)+4(y-1)|.
Usando a desigualdade triangular e a homogeneidade do valor absoluto,
|5(x+2)+4(y-1)|\le 5|x+2|+4|y-1|.
Agora relacionamos |x+2| e |y-1| com a distância \rho:=\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}. Para qualquer par de números reais a,b vale |a|\le\sqrt{a^2+b^2} e |b|\le\sqrt{a^2+b^2}. Assim,
5|x+2|+4|y-1|\le 5\rho+4\rho=9\rho.
Portanto
|f(x,y)-L|\le 9\,\rho = 9\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}.

Passo 5

Escolha de \delta e conclusão \varepsilon- \delta:
Dado \varepsilon>0, basta escolher
\delta=\frac{\varepsilon}{9}.
Se 0<\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}<\delta então, pela estimativa anterior,
|f(x,y)-L|\le 9\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}<9\delta=9\cdot\frac{\varepsilon}{9}=\varepsilon.
Isso prova, segundo a definição, que
\lim_{(x,y)\to(-2,1)}(5x+4y)= -6.
Observação rápida: este resultado também segue da continuidade de funções lineares (funções do tipo ax+by+c são contínuas), mas aqui apresentamos a prova \varepsilon- \delta detalhada para ficar rigorosa.

Resposta

-6

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