Calcule e demonstre os limites.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular e demonstrar que
Informações relevantes:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - O objetivo é provar, de forma rigorosa, que o limite de
quando tende a é .
Passo 2
Avaliação direta no ponto (ver qual valor a função toma no ponto dado):
Portanto o candidato ao limite é
. Agora vamos demonstrar que de fato
usando a definição
-
.
Passo 3
Definição de limite em
(em linguagem simples):
Dizemos que se, para todo
, existir
tal que, sempre que
Dizemos que
então
Aqui
é a distância entre
e
em
. A estratégia é estimar
em função dessa distância e escolher
apropriado.
Passo 4
Cálculo e estimativa de
:
Reescrevendo em termos de deslocamentos
e
:
Usando a desigualdade triangular e a homogeneidade do valor absoluto,
Agora relacionamos
e
com a distância
. Para qualquer par de números reais
vale
e
. Assim,
Portanto
Passo 5
Escolha de
e conclusão
-
:
Dado , basta escolher
Dado
Se
então, pela estimativa anterior,
Isso prova, segundo a definição, que
Observação rápida: este resultado também segue da continuidade de funções lineares (funções do tipo
são contínuas), mas aqui apresentamos a prova
-
detalhada para ficar rigorosa.