Calcule a densidade de corrente catódica para a deposição de um íon metálico para os valores de sobrepotencial de -50 \mathrm{e}-100 \mathrm{mV}. A densidade de corrente de troca i_{0} é de 2,0 \times 10^{-3} A \mathrm{~cm}^{-2}, \beta=0,5 e a temperatura é de 25^{\circ} \mathrm{C}. O processo do eletrodo envolve apenas um elétron ( z=1 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade de corrente catódica para deposição de um íon metálico nos dois valores de sobrepotencial: \eta=-50\\ \mathrm{mV} e \eta=-100\\ \mathrm{mV}. Dados fornecidos:
i_{0}=2{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{A\\ cm^{-2}},\quad \beta=0{,}5,\quad T=25^\circ\mathrm{C},\quad z=1.
Observação: 25^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K}. Vamos calcular as densidades de corrente correspondentes e indicar que o sinal negativo corresponde à corrente catódica (redução).

Passo 2

A equação fundamental que relaciona densidade de corrente e sobrepotencial é a equação de Butler–Volmer. Ela diz:
i = i_{0}\left[\exp\!\left(\frac{(1-\beta)\,zF\eta}{RT}\right)-\exp\!\left(\frac{-\beta\,zF\eta}{RT}\right)\right].
Explicando cada termo de forma simples:
  • i é a densidade de corrente (A cm ^{-2}). Sinal negativo = corrente catódica (redução).
  • i_{0} é a densidade de corrente de troca (A cm ^{-2}).
  • \beta é o coeficiente de transferência (adimensional); aqui \beta=0{,}5.
  • z é o número de elétrons transferidos (aqui z=1).
  • F é a constante de Faraday ( F\approx 96485\\ \mathrm{C\\ mol^{-1}}).
  • R é a constante dos gases ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}).
  • T é a temperatura em kelvin (aqui T=298\\ \mathrm{K}).
  • \eta é a sobrepotencial (V); atenção para converter mV em V.

Passo 3

Com \beta=0{,}5 e z=1 a equação fica simétrica:
i = i_{0}\left[\exp\!\left(\tfrac{1}{2}\cdot\frac{zF\eta}{RT}\right)-\exp\!\left(-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{zF\eta}{RT}\right)\right].
Note que se \eta for negativo (como é o caso), a primeira exponencial será menor que 1 e a segunda será maior que 1, resultando em i<0 (corrente catódica).

Passo 4

Calcular o fator \dfrac{zF}{RT}. Usando F=96485\\ \mathrm{C\\ mol^{-1}}, R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}} e T=298\\ \mathrm{K}:
RT = 8{,}314\cdot 298 = 2477{,}71\\ (\mathrm{J\\ mol^{-1}}),
\frac{zF}{RT}=\frac{96485}{2477{,}71}\approx 38{,}94\\ \mathrm{V^{-1}}.
Isso significa que \dfrac{zF\eta}{RT}\approx 38{,}94\cdot\eta (com \eta em volts).

Passo 5

Agora calculamos para \eta=-50\\ \mathrm{mV}=-0{,}050\\ \mathrm{V}.
Calcular os argumentos das exponenciais:
\frac{zF\eta}{RT}\approx 38{,}94\cdot(-0{,}050)=-1{,}947.
Metade desses valores (porque \beta=0{,}5):
\tfrac{1}{2}\frac{zF\eta}{RT}=-0{,}9735,\qquad -\tfrac{1}{2}\frac{zF\eta}{RT}=+0{,}9735.
Calcular as exponenciais:
\exp(-0{,}9735)\approx 0{,}378,\qquad \exp(0{,}9735)\approx 2{,}647.
Aplicar na equação de Butler–Volmer:
i = 2{,}0\times 10^{-3}\left(0{,}378-2{,}647\right)=2{,}0\times 10^{-3}\times(-2{,}269).
Logo
i\approx -4{,}54\times 10^{-3}\\ \mathrm{A\\ cm^{-2}}.
Interpretação rápida: o sinal negativo confirma corrente de redução (catódica). A magnitude é 4{,}54\times 10^{-3}\\ \mathrm{A\\ cm^{-2}}.

Passo 6

Agora para \eta=-100\\ \mathrm{mV}=-0{,}100\\ \mathrm{V}.
Calcular o argumento:
\frac{zF\eta}{RT}\approx 38{,}94\cdot(-0{,}100)=-3{,}894.
Metade:
\tfrac{1}{2}\frac{zF\eta}{RT}=-1{,}947,\qquad -\tfrac{1}{2}\frac{zF\eta}{RT}=+1{,}947.
Exponenciais:
\exp(-1{,}947)\approx 0{,}143,\qquad \exp(1{,}947)\approx 7{,}000.
Aplicando na equação:
i = 2{,}0\times 10^{-3}\left(0{,}143-7{,}000\right)=2{,}0\times 10^{-3}\times(-6{,}857).
Portanto
i\approx -1{,}37\times 10^{-2}\\ \mathrm{A\\ cm^{-2}}.
Novamente sinal negativo = corrente catódica; magnitude 1{,}37\times 10^{-2}\\ \mathrm{A\\ cm^{-2}}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio que você pode usar na prova:
  • Use a equação de Butler–Volmer.
  • Calcule o fator \dfrac{zF}{RT} (é o mesmo para ambos os \eta).
  • Substitua \eta (em volts), calcule as exponenciais e multiplique por i_0.
  • O sinal negativo indica corrente de redução (catódica). Dá para apresentar o módulo se a questão pedir apenas a intensidade.

Resposta

-4{,}54\times 10^{-3}\\ \mathrm{A\\ cm^{-2}}\n -1{,}37\times 10^{-2}\\ \mathrm{A\\ cm^{-2}}

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