Uma solução de \mathrm{CuSO}_{4} é usada para produzir um filme de Cu de 1,0 \mu \mathrm{~m} de espessura sobre um substrato de 5,0 \mathrm{~mm} de largura e 10 mm de comprimento. A corrente aplicada é de 10 mA . Qual será o tempo necessário para deposição do metal?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o tempo necessário para depositar cobre metálico sobre o substrato:
  • Espessura do filme: 1{,}0\\ \mu\mathrm{m}.
  • Largura do substrato: 5{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento do substrato: 10\\ \mathrm{mm}.
  • Corrente aplicada: 10\\ \mathrm{mA}.
Também sabemos (valores físicos que usaremos):
  • Densidade do cobre: \rho = 8{,}96\\ \mathrm{g\,cm^{-3}} = 8960\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Massa molar do cobre: M = 63{,}546\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} = 0{,}063546\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Constante de Faraday: F = 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}.
Observações de leitura do enunciado (sem resolver ainda):
  • O cobre vem de \mathrm{CuSO_4}, isto é, o íon que se reduz é \mathrm{Cu^{2+}}. Na redução \mathrm{Cu^{2+} + 2e^- \to Cu} cada átomo de Cu depositado consome 2 elétrons. Portanto o número de mols de elétrons por mol de Cu é z=2.

Passo 2

Explicação do método (lei de Faraday aplicada ao eletrodeposição) — aula curta e necessária.
Quando se deposita metal por eletrólise, a massa m do metal depositado está relacionada com a carga elétrica total Q que passou pela solução. A relação é dada por
m = \frac{M}{zF}\,Q,
onde:
  • m é a massa do metal depositado (em kg ou g),
  • M é a massa molar do metal (em kg·mol^{-1} ou g·mol^{-1}),
  • z é o número de elétrons trocados por átomo/íon do metal (adimensional),
  • F é a constante de Faraday ( 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}),
  • Q é a carga total que passou (em coulombs).
Justificativa simples dessa fórmula: Q/F dá o número de mols de elétrons; dividindo esse número por z obtém-se o número de mols de metal depositado; multiplicando por M obtemos a massa depositada.
Como Q = I\,t (corrente vezes tempo), podemos escrever a fórmula para o tempo:
t = \frac{zF\,m}{M I}.
Essa é a fórmula que usaremos. Agora precisamos calcular a massa m do filme de cobre a partir da geometria e da densidade.

Passo 3

Calcular a área do substrato e o volume do filme (conversões de unidades explicadas passo a passo).
Comprimentos dados:
\text{largura} = 5{,}0\\ \mathrm{mm} = 5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
\text{comprimento} = 10\\ \mathrm{mm} = 1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Área:
A = (5{,}0\times10^{-3})(1{,}0\times10^{-2}) = 5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Espessura:
\text{espessura} = 1{,}0\\ \mu\mathrm{m} = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Volume do filme:
V = A \times \text{espessura} = 5{,}0\times10^{-5}\times 1{,}0\times10^{-6} = 5{,}0\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}}.
Comentário pedagógico: atenção às potências de dez nas conversões; multiplicações de números em notação científica somam os expoentes.

Passo 4

Calcular a massa de cobre depositada a partir do volume e da densidade.
Usamos \rho = 8960\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}. Então
m = \rho V = 8960 \times 5{,}0\times10^{-11} = 4{,}48\times10^{-7}\\ \mathrm{kg}.
Se preferir em gramas:
m = 4{,}48\times10^{-7}\\ \mathrm{kg} = 4{,}48\times10^{-4}\\ \mathrm{g}.
Pequena verificação: V é muito pequeno, logo a massa deve ser pequena — faz sentido físico.

Passo 5

Calcular o número de mols de cobre correspondentes à massa encontrada.
Usamos M = 0{,}063546\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}. Assim:
n_{\mathrm{Cu}} = \frac{m}{M} = \frac{4{,}48\times10^{-7}}{0{,}063546} \approx 7{,}05\times10^{-6}\\ \mathrm{mol}.
Explicação: dividir massa (kg) por massa molar (kg·mol^{-1}) dá mols.

Passo 6

Calcular a carga elétrica necessária (usar que cada mol de Cu requer z=2 mols de elétrons).
Mols de elétrons necessários:
n_{e^-} = z\,n_{\mathrm{Cu}} = 2 \times 7{,}05\times10^{-6} = 1{,}41\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}.
Carga total:
Q = n_{e^-}\,F = 1{,}41\times10^{-5}\times 96485 \approx 1{,}36\\ \mathrm{C}.
Interpretação: para depositar essa massa de cobre precisamos que aproximadamente 1{,}36\\ \mathrm{C} de carga passem pela célula eletrolítica.

Passo 7

Calcular o tempo a partir da corrente I = 10\\ \mathrm{mA} = 1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{A}.
Usamos t = Q/I:
t = \frac{1{,}36}{1{,}0\times10^{-2}} = 136\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos se quiser:
136\\ \mathrm{s} \approx 2{,}27\\ \mathrm{min}.
Comentário final e empurrãozinho motivacional: deu trabalho, mas fizemos passo a passo — nas provas aplique a fórmula de Faraday, calcule massa pelo volume e densidade, e atenção às unidades!

Resposta

t \approx 1{,}36\times10^{2}\\ \mathrm{s} \approx 2{,}3\\ \mathrm{min}

Exercícios relacionados