Calcule a energia média por elétron para um gás uni-, bi-, e tridimensional de elétrons para
.
Passo 1
A questão pede a energia média por elétron em um gás de Fermi livre em T=0
K nas dimensões d=1,2 e 3. Vamos usar o conceito de densidade de estados g(E) e as integrais que dão o número total de elétrons N e a energia total U. A teoria envolve Fermi–Dirac a T=0 e integrais de potências de E.
K nas dimensões d=1,2 e 3. Vamos usar o conceito de densidade de estados g(E) e as integrais que dão o número total de elétrons N e a energia total U. A teoria envolve Fermi–Dirac a T=0 e integrais de potências de E.
Passo 2
Para um gás livre em d dimensões a densidade de estados genérica é
onde C_d é uma constante que depende de m, ℏ e do “volume” do sistema. O número total de elétrons e a energia total são
e
Passo 3
As integrais são potências simples de E. Usando
ficamos com
Passo 4
A energia média por elétron é
Passo 5
Bastou então colocar d=1,2,3 para obter cada caso.
Resposta
Em 1D:
; em 2D:
; em 3D:
.