Calcule a energia média por elétron para um gás uni-, bi-, e tridimensional de elétrons para T=0 K.

Passo 1

A questão pede a energia média por elétron em um gás de Fermi livre em T=0
K nas dimensões d=1,2 e 3. Vamos usar o conceito de densidade de estados g(E) e as integrais que dão o número total de elétrons N e a energia total U. A teoria envolve Fermi–Dirac a T=0 e integrais de potências de E.

Passo 2

Para um gás livre em d dimensões a densidade de estados genérica é
g(E)=Cd,E^ d2-1,,
onde C_d é uma constante que depende de m, ℏ e do “volume” do sistema. O número total de elétrons e a energia total são
N=integral0^EFg(E),dE
e
U=integral0^EFE,g(E),dE

Passo 3

As integrais são potências simples de E. Usando
integral0^EFE^alpha,dE=EF^alpha+1alpha+1
ficamos com
N=Cd,EF^ d2 d2
U=Cd,EF^ d2+1 d2+1

Passo 4

A energia média por elétron é
bar E=UN= Cd,EF^ d2+1 d2+1 Cd,EF^ d2 d2= d2 d2+1EF=dd+2EF

Passo 5

Bastou então colocar d=1,2,3 para obter cada caso.

Resposta

Em 1D: bar E=tfrac13EF; em 2D: bar E=tfrac12EF; em 3D: bar E=tfrac35EF.

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