Calcule a densidade planar para um cristal de Al nos planos (111) e (010).

Passo 1

O enunciado pede a densidade planar para o cristal de Al (estrutura fcc) nos planos ( 111) e ( 010). A densidade planar ( PD) é definida como o número de átomos cujos centros pertencem ao plano, dividido pela área da célula bidimensional primitiva desse plano.

Passo 2

Para o plano ( 111):
1. A célula 2D primitiva é um triângulo equilátero cujos vértices são as intersecções do plano com os eixos em (a,0,0), (0,a,0) e (0,0,a). O lado desse triângulo vale
ell = raiz(a-0)^2+(0-a)^2 = araiz2
2. Os átomos no triângulo são:
  • 3 átomos de canto (nos vértices), cada um compartilhado por 6 triângulos no plano to contribuição total 3times tfrac16 = tfrac12.
  • 3 átomos de centro de face (nos pontos (tfrac a2,tfrac a2,0), etc.), cada um compartilhado por 2 triângulos to contribuição total 3times tfrac12 = tfrac32.
    Logo, número de átomos por célula triangular:
N111 = tfrac12 + tfrac32 = 2
3. A área do triângulo equilátero de lado ell é
A111 = raiz34,ell^2 = raiz34,(araiz2)^2 = raiz32,a^2
4. Portanto
PD111 = N111A111 = 2(raiz3/2),a^2 = 4raiz3,a^2

Passo 3

Para o plano ( 010):
1. A célula 2D primitiva é um quadrado de lado a na direção x z.
2. Os átomos no quadrado são:
  • 4 átomos de canto, cada um compartilhado por 4 quadrados no plano to contribuição total 4times tfrac14 = 1.
  • 1 átomo de centro de face em (tfrac a2,0,tfrac a2), pertencente integralmente àquele quadrado to contribuição 1.
    Logo,
N010 = 1 + 1 = 2
3. A área do quadrado é
A010 = a^2
4. Portanto
PD010 = N010A010 = 2a^2

Resposta

Plano ( 111): PD111 = dfrac4raiz3,a^2
Plano ( 010): PD010 = dfrac2a^2

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