Qual a densidade linear para a estrutura cristalina do Al nas direções [1 1 0] e [lll1 & 1 & 1].

Passo 1

O enunciado pede a densidade linear, isto é, o número de átomos por unidade de comprimento ao longo de certas direções cristallográficas de um cristal de alumínio, que tem estrutura cúbica de faces centradas (fcc) com parâmetro de rede a. Para calcular a densidade linear usamos
LD = número de átomos efetivos sobre um trecho de repetiçãocomprimento desse trecho úáçã

Passo 2

Considere a direção [1,1,0]. Um trecho de repetição equivale ao vetor que vai de (0,0,0) até (1,1,0), cujo comprimento é
L110 = araiz1^2+1^2+0^2 = araiz2
Sobre esse trecho incidem:
  • o átomo de canto em (0,0,0), que contribui com 1/2;
  • o átomo de centro de face em (tfrac12,tfrac12,0), que contribui com 1;
  • o átomo de canto em (1,1,0), que contribui com 1/2.
    Logo o número total de átomos “efetivos” é
12 + 1 + 12 = 2

Passo 3

A densidade linear na direção [1,1,0] fica
LD110 = 2araiz2 = raiz2a

Passo 4

Agora a direção [1,1,1]. Tomamos o trecho de repetição de (0,0,0) até (1,1,1), de comprimento
L111 = araiz1^2+1^2+1^2 = araiz3
Nesse trecho só há átomos nos cantos em (0,0,0) e (1,1,1), cada um contribuindo com 1/2, totalizando
12 + 12 = 1

Passo 5

Logo a densidade linear na direção [1,1,1] é
LD111 = 1araiz3

Resposta

LD[1,1,0]=raiz2a e LD[1,1,1]=1araiz3

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