Calcule a densidade planar e a fração de empacotamento planar para os planos (010) e (020) na estrutura Cúbica Simples do Polônio, que tem parâmetro de rede de 0.334 nm .
Fração de empacotamento planar \left(\pi \mathrm{r}^{2}\right) / \mathrm{a}^{2}=0,78.

Passo 1

O enunciado pede a densidade planar e a fração de empacotamento planar para os planos (010) e (020) na estrutura cúbica simples do Po com parâmetro de rede a=0,334\;\mathrm{nm}. Vamos usar a definição de densidade planar como número de centros atômicos por área de malha e a fração de empacotamento como a razão entre a área total das seções circulares atômicas no plano e a área da malha.

Passo 2

Na estrutura cúbica simples temos
a = 2r
e, portanto,
r = \frac{a}{2} = 0,167\;\mathrm{nm}.

Passo 3

Para o plano (010), a malha elementar é um quadrado de lado a. Cada malha contém 4 átomos nos vértices, com contribuição 1/4 cada, totalizando 1 centro atômico. Logo, a densidade planar é
\rho_{010} = \frac{1}{a^2} = \frac{1}{(0,334)^2} \approx 8,96\;\mathrm{átomos/nm^2}.á
Nesse plano cada átomo gera uma seção circular de raio r e, somando os 4 quartos dessas seções, a fração de empacotamento é
f_{010} = \frac{\pi r^2}{a^2} = \frac{\pi\,(0,167)^2}{(0,334)^2} = \frac{\pi}{4} \approx 0,785.

Passo 4

O plano (020) é paralelo a (010), mas intercepta em y = a/2, onde não há centros atômicos na rede simples. Portanto
\rho_{020} = 0,\quad f_{020} = 0.

Resposta

(010) densidade planar \approx 8,96\;\mathrm{átomos/nm^2}á, fração de empacotamento \approx 0,785.
(020) densidade planar =0, fração de empacotamento =0.

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