Calcule a derivada abaixo:
(e^ix-e^-ix2)^prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da expressão (e^ix-e^-ix2)'. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais que têm números complexos no expoente. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
f(x) = e^ix - e^-ix2
Nossa missão é encontrar $ f’(x) $, que é a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da derivada para funções exponenciais. A derivada de $ e^{u(x)} $ é $ u’(x) \cdot e^{u(x)} $, onde $ u(x) $ é o expoente.
Então, derivando cada termo separadamente:
e^u(x)
u'(x) cdot e^u(x)

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa derivada à nossa função original:
f'(x) = ddx (e^ix - e^-ix2) = i cdot e^ix - (-i) cdot e^-ix2
Simplificando:
f'(x) = i cdot e^ix + i cdot e^-ix2

Passo 5

Podemos fatorar o $ i $ na expressão:
i
E reconhecemos que $ \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \cos(x) $, então:
f'(x) = i cdot e^ix + e^-ix2

Resposta

A derivada é $ i \cdot \cos(x) $.

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