Calcule a derivada abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da expressão
. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais que têm números complexos no expoente. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
Nossa missão é encontrar $ f’(x) $, que é a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da derivada para funções exponenciais. A derivada de $ e^{u(x)} $ é $ u’(x) \cdot e^{u(x)} $, onde $ u(x) $ é o expoente.
Então, derivando cada termo separadamente:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa derivada à nossa função original:
Simplificando:
Passo 5
Podemos fatorar o $ i $ na expressão:
E reconhecemos que $ \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \cos(x) $, então:
Resposta
A derivada é $ i \cdot \cos(x) $.