Seja
. Considere o sólido obtido ao girar ao redor do eixo
a região limitada pela função
. Encontre a área superficial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a área superficial de um sólido gerado ao girar a região delimitada pela função $ f(x) = \sqrt{r^{2} - (x - R)^{2}} $ em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo, especificamente o método de integração para encontrar áreas superficiais de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = \sqrt{r^{2} - (x - R)^{2}} $. Essa é a equação de uma semicircunferência com raio $ r $ e centro no ponto $ (R, 0) $. Ou seja, estamos lidando com uma parte de um círculo deslocada no eixo $ x $.
Passo 3
Para encontrar a área superficial do sólido gerado pela rotação dessa semicircunferência em torno do eixo $ y $, usamos a fórmula para a área superficial de um sólido de revolução:
Aqui, $ f’(x) $ é a derivada da função $ f(x) $, e os limites de integração $ a $ e $ b $ representam os pontos onde a semicircunferência começa e termina no eixo $ x $.
Passo 4
Vamos calcular a derivada $ f’(x) $:
Usando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ f’(x) $ na fórmula da área superficial:
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula da área:
Aqui, simplificamos os termos dentro da integral.
Passo 7
Integrando:
Resposta
A área superficial do sólido é $ 4\pi r^{2} $.