Seja 0. Considere o sólido obtido ao girar ao redor do eixo y a região limitada pela função f(x)=raizr^2-(x-R)^2. Encontre a área superficial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a área superficial de um sólido gerado ao girar a região delimitada pela função $ f(x) = \sqrt{r^{2} - (x - R)^{2}} $ em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo, especificamente o método de integração para encontrar áreas superficiais de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = \sqrt{r^{2} - (x - R)^{2}} $. Essa é a equação de uma semicircunferência com raio $ r $ e centro no ponto $ (R, 0) $. Ou seja, estamos lidando com uma parte de um círculo deslocada no eixo $ x $.

Passo 3

Para encontrar a área superficial do sólido gerado pela rotação dessa semicircunferência em torno do eixo $ y $, usamos a fórmula para a área superficial de um sólido de revolução:
y
Aqui, $ f’(x) $ é a derivada da função $ f(x) $, e os limites de integração $ a $ e $ b $ representam os pontos onde a semicircunferência começa e termina no eixo $ x $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada $ f’(x) $:
f'(x)
Usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos substituir $ f’(x) $ na fórmula da área superficial:
f'(x)

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da área:
A = 2pi integralR - r^R + r raizr^2 - (x - R)^2 cdot rraizr^2 - (x - R)^2 , dx = 2pi r integralR - r^R + r dx
Aqui, simplificamos os termos dentro da integral.

Passo 7

Integrando:
2pi r integralR - r^R + r dx = 2pi r [x]R - r^R + r = 2pi r [(R + r) - (R - r)] = 2pi r (2r) = 4pi r^2

Resposta

A área superficial do sólido é $ 4\pi r^{2} $.

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