Resolva as integrais abaixo:
integral 1-uu^2-4 d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1 - uu^2 - 4 , du. Esse problema envolve cálculo integral, especificamente integração de frações racionais. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a fração em termos mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o denominador u^2 - 4. Note que ele pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
u^2 - 4 = (u - 2)(u + 2)
Isso facilita a decomposição da fração.

Passo 3

Agora, expressamos 1 - uu^2 - 4 como uma soma de frações parciais:
1 - u(u - 2)(u + 2) = Au - 2 + Bu + 2
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (u - 2)(u + 2) para eliminar os denominadores:
1 - u = A(u + 2) + B(u - 2)
Agora, vamos resolver para A e B.

Passo 5

Vamos escolher valores de u que simplifiquem a equação. Primeiro, coloque u = 2:
1 - 2 = A(2 + 2) + B(2 - 2) implies -1 = 4A implies A = -14
Agora, coloque u = -2:
1 - (-2) = A(-2 + 2) + B(-2 - 2) implies 3 = -4B implies B = -34

Passo 6

Agora que encontramos A = -14 e B = -34, substituímos de volta na decomposição:
1 - uu^2 - 4 = -14 cdot 1u - 2 - 34 cdot 1u + 2

Passo 7

Agora, estamos prontos para integrar termo a termo:
integral 1 - uu^2 - 4 , du = -14 integral 1u - 2 , du - 34 integral 1u + 2 , du
Sabemos que integral 1x , dx = ln|x| + C, então aplicamos isso:
= -14 ln|u - 2| - 34 ln|u + 2| + C

Resposta

A integral é igual a -14 ln|u - 2| - 34 ln|u + 2| + C, onde C é a constante de integração.

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