Determine o centro de massa, os primeiros momentos e momentos de inércia da lâmina triangular R com vértices (0,0),(4,0) e (4,3) e de densidade constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o centro de massa, os primeiros momentos e os momentos de inércia de uma lâmina triangular R com vértices em (0,0), (4,0) e (4,3). A densidade é constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à estática dos corpos planas, e vamos precisar montar e calcular algumas integrais duplas sobre a região do triângulo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a área do triângulo R. Como temos os vértices em (0,0), (4,0) e (4,3), podemos visualizar que a base está no eixo x de 0 a 4, e a altura vai até y=3. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração. Vamos integrar em x de 0 a 4 e, para cada x, y varia de 0 até uma linha que conecta (4,0) a (4,3), que na verdade é constante em x=4. Porém, parece que há uma confusão aqui, então vamos reavaliar.
Na verdade, a reta que conecta (0,0) a (4,3) tem equação y = 34x. Assim, para cada x entre 0 e 4, y varia de 0 até 34x.

Passo 3

Agora, vamos calcular os primeiros momentos em relação aos eixos x e y, que são essencialmente integrais da forma:
Mx = integral duplaR y , dA e My = integral duplaR x , dA
Como a densidade é constante, podemos assumir rho = 1 para simplificar. Então:
Mx = integral0^4 integral0^34x y , dy , dx
My = integral0^4 integral0^34x x , dy , dx
Vamos resolver cada integral:
Para Mx:
Mx = integral0^4 [ 12y^2 ]0^34x dx = integral0^4 12 (34x)^2 dx = 932 integral0^4 x^2 dx = 932 [ x^33 ]0^4 = 932 cdot 643 = 6
Para My:
My = integral0^4 x [ y ]0^34x dx = integral0^4 x cdot 34x , dx = 34 integral0^4 x^2 dx = 34 cdot 643 = 16

Passo 4

Com os primeiros momentos calculados, podemos encontrar o centro de massa (barx, bary) usando as fórmulas:
barx = MyA e bary = MxA
Primeiro, vamos calcular a área A do triângulo:
A = 12 cdot base cdot a
Então:
barx = 166 = 83 approx 2,67
bary = 66 = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular os momentos de inércia em relação aos eixos x e y. As fórmulas são:
Ix = integral duplaR y^2 , dA e Iy = integral duplaR x^2 , dA
Vamos resolver cada uma:
Para Ix:
Ix = integral0^4 integral0^34x y^2 , dy , dx = integral0^4 [ 13y^3 ]0^34x dx = integral0^4 13 (34x)^3 dx = 27192 integral0^4 x^3 dx = 27192 cdot 256 = 36
Para Iy:
Iy = integral0^4 integral0^34x x^2 , dy , dx = integral0^4 x^2 cdot 34x , dx = 34 integral0^4 x^3 dx = 34 cdot 256 = 192

Resposta

O centro de massa da lâmina triangular R está no ponto (83,,1). Os primeiros momentos são Mx = 6 e My = 16. Os momentos de inércia são Ix = 36 e Iy = 192.

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