Determine o centro de massa, os primeiros momentos e momentos de inércia da lâmina triangular
com vértices
e
e de densidade constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o centro de massa, os primeiros momentos e os momentos de inércia de uma lâmina triangular
com vértices em
,
e
. A densidade é constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à estática dos corpos planas, e vamos precisar montar e calcular algumas integrais duplas sobre a região do triângulo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a área do triângulo
. Como temos os vértices em
,
e
, podemos visualizar que a base está no eixo
de
a
, e a altura vai até
. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração. Vamos integrar em
de
a
e, para cada
,
varia de
até uma linha que conecta
a
, que na verdade é constante em
. Porém, parece que há uma confusão aqui, então vamos reavaliar.
Na verdade, a reta que conecta
a
tem equação
. Assim, para cada
entre
e
,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos calcular os primeiros momentos em relação aos eixos
e
, que são essencialmente integrais da forma:
Como a densidade é constante, podemos assumir
para simplificar. Então:
Vamos resolver cada integral:
Para
:
Para
:
Passo 4
Com os primeiros momentos calculados, podemos encontrar o centro de massa
usando as fórmulas:
Primeiro, vamos calcular a área
do triângulo:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os momentos de inércia em relação aos eixos
e
. As fórmulas são:
Vamos resolver cada uma:
Para
:
Para
:
Resposta
O centro de massa da lâmina triangular
está no ponto
. Os primeiros momentos são
e
. Os momentos de inércia são
e
.