Calcule a derivada em cada caso:
(a) \frac{d}{d x}\left(\int_{0}^{x^{2}} \sin (t) d t\right)
(b) \frac{d}{d x}\left(\int_{\sin x}^{1} e^{t^{2}} d t\right)
(c) \frac{d}{d x}\left(\int_{x}^{2 x} \ln (1+t) d t\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas das três funções abaixo. Vou listar cada uma exatamente como está:
  • (a) \frac{d}{d x}\left(\int_{0}^{x^{2}} \sin (t)\, d t\right).
  • (b) \frac{d}{d x}\left(\int_{\sin x}^{1} e^{t^{2}}\, d t\right).
  • (c) \frac{d}{d x}\left(\int_{x}^{2 x} \ln (1+t)\, d t\right).
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • Em (a) a integral tem limite inferior constante 0 e limite superior igual a \,x^{2}.
  • Em (b) a integral tem limite superior constante 1 e limite inferior igual a \sin x.
  • Em (c) ambos os limites da integral dependem de x: limite inferior x e limite superior 2x.
  • As funções integrandas são \sin t, e^{t^{2}} e \ln(1+t), todas funções de t apenas (não dependem explicitamente de x).

Passo 2

Conceito e ferramenta principal (explicado devagar e com intuição).
  • Se eu definir uma função \displaystyle F(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt, o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que \displaystyle F'(u)=f(u). Intuição: a integral acumulada até u muda à taxa do valor da função f em u.
  • Agora, se u depende de x, isto é u=g(x), e eu considero H(x)=F(g(x))=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt, aplico a regra da cadeia (chain rule). Logo
\frac{d}{dx} \left(\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt\right)=f(g(x))\cdot g'(x).
  • Caso ambos os limites dependam de x, a forma geral (regra de Leibniz para limites dependentes) é
\frac{d}{dx}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt\right)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Explicação curta da fórmula: escreva \int_{a(x)}^{b(x)}=\int_{c}^{b(x)}-\int_{c}^{a(x)} com c fixo; ao derivar cada termo você usa o caso de limite superior variável e aplica a regra da cadeia; o sinal menos aparece porque subtraímos o segundo integral.
Vou usar essas regras para cada item. Sempre que usar a regra da cadeia, vou indicar claramente qual é a função exterior e qual é a função interior.

Passo 3

Resolvendo (a) passo a passo.
  • Defina a função que queremos derivar:
G(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sin(t)\,dt.
  • Identifique a estrutura: é do tipo \int_{0}^{g(x)} f(t)\,dt com f(t)=\sin t e g(x)=x^{2}.
  • Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada em relação a g seria f(g)=\sin(g). Aplicando a regra da cadeia (pois g depende de x):
G'(x)=\sin\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\sin\big(x^{2}\big)\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}).
  • Calcule \frac{d}{dx}(x^{2})=2x. Portanto
\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x^{2}} \sin(t)\,dt\right)=2x\sin\big(x^{2}\big).
Observação alternativa (curiosa, para fixar a ideia): uma antiderivada de \sin t é -\cos t, então \int_{0}^{x^{2}}\sin t\,dt=-\cos(x^{2})+\cos 0=-\cos(x^{2})+1. Derivando isso dá -(-\sin(x^{2}))\cdot 2x=2x\sin(x^{2}), mesma resposta.

Passo 4

Resolvendo (b) passo a passo.
  • Defina a função:
H(x)=\int_{\sin x}^{1} e^{t^{2}}\,dt.
  • Identifique a estrutura: é do tipo \int_{a(x)}^{b} f(t)\,dt com a(x)=\sin x, b=1 (constante) e f(t)=e^{t^{2}}.
  • Use a regra geral: quando o limite inferior depende de x e o superior é constante, temos
\frac{d}{dx}\left(\int_{a(x)}^{b} f(t)\,dt\right)=-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
(É consequência direta da fórmula com ambos limites dependentes, ou de reescrever a integral como -\int_{b}^{a(x)}.)
  • Aqui a'(x)=\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x e f\big(a(x)\big)=e^{(\sin x)^{2}}. Logo
\frac{d}{dx}\left(\int_{\sin x}^{1} e^{t^{2}}\,dt\right)=-e^{(\sin x)^{2}}\cdot \cos x.
  • Podemos escrever de forma mais limpa:
\frac{d}{dx}\left(\int_{\sin x}^{1} e^{t^{2}}\,dt\right)=-\cos x\; e^{\sin^{2} x}.

Passo 5

Resolvendo (c) passo a passo.
  • Defina a função:
K(x)=\int_{x}^{2x} \ln(1+t)\,dt.
  • Aqui ambos os limites dependem de x: a(x)=x, b(x)=2x, e f(t)=\ln(1+t).
  • Use a fórmula de Leibniz:
\frac{d}{dx}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt\right)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
  • Calcule as derivadas dos limites: b'(x)=\frac{d}{dx}(2x)=2 e a'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1.
  • Avalie f nos limites: f\big(b(x)\big)=\ln(1+2x) e f\big(a(x)\big)=\ln(1+x).
  • Substituindo:
\frac{d}{dx}\left(\int_{x}^{2x} \ln(1+t)\,dt\right)=\ln(1+2x)\cdot 2-\ln(1+x)\cdot 1.
  • Portanto
\frac{d}{dx}\left(\int_{x}^{2x} \ln(1+t)\,dt\right)=2\ln(1+2x)-\ln(1+x).

Resposta

2x\sin(x^{2})
-\cos x\; e^{\sin^{2}x}
2\ln(1+2x)-\ln(1+x)

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