Calcule a derivada em cada caso:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas das três funções abaixo. Vou listar cada uma exatamente como está:
- (a)
. - (b)
. - (c)
.
Informações relevantes que o enunciado deu:
- Em (a) a integral tem limite inferior constante
e limite superior igual a . - Em (b) a integral tem limite superior constante
e limite inferior igual a . - Em (c) ambos os limites da integral dependem de
: limite inferior e limite superior . - As funções integrandas são
, e , todas funções de apenas (não dependem explicitamente de ).
Passo 2
Conceito e ferramenta principal (explicado devagar e com intuição).
- Se eu definir uma função
, o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que . Intuição: a integral acumulada até muda à taxa do valor da função em . - Agora, se
depende de , isto é , e eu considero , aplico a regra da cadeia (chain rule). Logo
- Caso ambos os limites dependam de
, a forma geral (regra de Leibniz para limites dependentes) é
Explicação curta da fórmula: escreva
com
fixo; ao derivar cada termo você usa o caso de limite superior variável e aplica a regra da cadeia; o sinal menos aparece porque subtraímos o segundo integral.
Vou usar essas regras para cada item. Sempre que usar a regra da cadeia, vou indicar claramente qual é a função exterior e qual é a função interior.
Passo 3
Resolvendo (a) passo a passo.
- Defina a função que queremos derivar:
- Identifique a estrutura: é do tipo
com e . - Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada em relação a
seria . Aplicando a regra da cadeia (pois depende de ):
- Calcule
. Portanto
Observação alternativa (curiosa, para fixar a ideia): uma antiderivada de
é
, então
. Derivando isso dá
, mesma resposta.
Passo 4
Resolvendo (b) passo a passo.
- Defina a função:
- Identifique a estrutura: é do tipo
com , (constante) e . - Use a regra geral: quando o limite inferior depende de
e o superior é constante, temos
(É consequência direta da fórmula com ambos limites dependentes, ou de reescrever a integral como
.)
- Aqui
e . Logo
- Podemos escrever de forma mais limpa:
Passo 5
Resolvendo (c) passo a passo.
- Defina a função:
- Aqui ambos os limites dependem de
: , , e . - Use a fórmula de Leibniz:
- Calcule as derivadas dos limites:
e . - Avalie
nos limites: e . - Substituindo:
- Portanto