Resolva as integrais aplicando as substituições indicadas:
\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \quad(x=a \sin \theta)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx
usando a substituição indicada \displaystyle x=a\sin\theta.
Informações dadas e importantes:
\displaystyle x=a\sin\theta é a substituição que devemos usar.
Devemos expressar dx e \sqrt{a^{2}-x^{2}} em termos de \theta e integrar em \theta.
No final, devemos voltar para a variável x (ou seja, reescrever \theta em função de x).
Não há outras informações no enunciado; vamos assumir o ramo principal \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] para que \cos\theta\ge0 e a raiz quadrada fique bem definida como a\cos\theta.

Passo 2

Fazendo a substituição indicada, definimos
x=a\sin\theta.
Agora calculamos o diferencial dx. Derivando ambos os lados em relação a \theta obtemos
dx = a\cos\theta\,d\theta.
Explicação curta: o diferencial dx é a variação infinitesimal de x; ao escrever x como função de \theta, usamos a regra da derivada da função seno multiplicada por a.

Passo 3

Transformamos a parte \sqrt{a^{2}-x^{2}} usando a substituição:
\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta}=a\sqrt{1-\sin^{2}\theta}.
Usando a identidade trigonométrica \sqrt{1-\sin^{2}\theta}=|\cos\theta| e o fato de que escolhemos \theta com \cos\theta\ge0, temos
\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos\theta.
Comentário didático: é por isso que a substituição com seno é prática — ela transforma a raiz de soma/diferença de quadrados numa função trigonométrica simples.

Passo 4

Substituímos \sqrt{a^{2}-x^{2}} e dx na integral:
\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = \int (a\cos\theta)\,(a\cos\theta\,d\theta).
Multiplicando os fatores a e \cos\theta,
\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = a^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Explicação prática: a integral em x virou uma integral em \theta muito mais simples (apenas \cos^{2}\theta) multiplicada por constante a^{2}.

Passo 5

Agora integramos \cos^{2}\theta. Usamos a identidade padrão de redução:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Essa identidade vem da fórmula do cosseno do dobro do ângulo \cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1, rearranjando obtemos a expressão acima. Então
a^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = a^{2}\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = a^{2}\left(\frac{1}{2}\int d\theta + \frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta\right).

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int d\theta = \theta,
\int \cos(2\theta)\,d\theta = \frac{\sin(2\theta)}{2}.
Portanto
a^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = a^{2}\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Simplificamos a parte com \sin(2\theta) usando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta:
a^{2}\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\right) = \frac{a^{2}\theta}{2} + \frac{a^{2}}{4}\cdot 2\sin\theta\cos\theta = \frac{a^{2}\theta}{2} + \frac{a^{2}}{2}\sin\theta\cos\theta + C.

Passo 8

Agora voltamos para a variável x. Lembrando a substituição \displaystyle x=a\sin\theta, temos
\sin\theta=\frac{x}{a}.
Também usamos \cos\theta=\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a} (isso vem de \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta} e substituição de \sin\theta). Substituindo na expressão anterior:
\frac{a^{2}}{2}\sin\theta\cos\theta = \frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{x}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a} = \frac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}.
Também \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{a}\right) no ramo escolhido. Portanto a primitiva fica
\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+C.

Passo 9

Resumo final e checagem rápida: derivando a expressão encontrada devemos recuperar \sqrt{a^{2}-x^{2}}. Isso bate com o resultado clássico conhecido e com as transformações que fizemos. Você pode confiar neste resultado para usar na prova.

Resposta

\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C

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