Resolva as integrais aplicando as substituições indicadas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
usando a substituição indicada
.
Informações dadas e importantes:
é a substituição que devemos usar.
Devemos expressar e
em termos de
e integrar em
.
No final, devemos voltar para a variável (ou seja, reescrever
em função de
).
Não há outras informações no enunciado; vamos assumir o ramo principal para que
e a raiz quadrada fique bem definida como
.
Devemos expressar
No final, devemos voltar para a variável
Não há outras informações no enunciado; vamos assumir o ramo principal
Passo 2
Fazendo a substituição indicada, definimos
Agora calculamos o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Explicação curta: o diferencial
é a variação infinitesimal de
; ao escrever
como função de
, usamos a regra da derivada da função seno multiplicada por
.
Passo 3
Transformamos a parte
usando a substituição:
Usando a identidade trigonométrica
e o fato de que escolhemos
com
, temos
Comentário didático: é por isso que a substituição com seno é prática — ela transforma a raiz de soma/diferença de quadrados numa função trigonométrica simples.
Passo 4
Substituímos
e
na integral:
Multiplicando os fatores
e
,
Explicação prática: a integral em
virou uma integral em
muito mais simples (apenas
) multiplicada por constante
.
Passo 5
Agora integramos
. Usamos a identidade padrão de redução:
Essa identidade vem da fórmula do cosseno do dobro do ângulo
, rearranjando obtemos a expressão acima. Então
Passo 6
Integramos termo a termo:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Simplificamos a parte com
usando
:
Passo 8
Agora voltamos para a variável
. Lembrando a substituição
, temos
Também usamos
(isso vem de
e substituição de
). Substituindo na expressão anterior:
Também
no ramo escolhido. Portanto a primitiva fica
Passo 9
Resumo final e checagem rápida: derivando a expressão encontrada devemos recuperar
. Isso bate com o resultado clássico conhecido e com as transformações que fizemos. Você pode confiar neste resultado para usar na prova.