Temos uma função f definida em [a,b) (ou em (a,b] se o problema fosse no outro extremo), e a integral é considerada imprópria por causa do extremo b.
A impropriedade pode vir de duas fontes: o intervalo se estender até b=+\infty (ou -\infty) ou f ficar não limitada quando x\to b^{-} (singularidade no integrando).
A pergunta é: quais são as condições necessárias e suficientes para que o limite acima exista e seja finito (isto é, para a integral convergir)?
Passo 2
Definição formal do que significa “convergir” aqui (a base do resto): dizer que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
converge significa exatamente que o limite
\lim_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t} f(x)\,dx
existe e é um número real finito. Ou seja, a família de números
I(t):=\int_{a}^{t} f(x)\,dx\qquad (t\in[a,b))
tem um limite finito quando t\to b^{-}. Essa é a definição-prática; toda condição necessária e suficiente que eu der será equivalente a esta definição.
Passo 3
Condicional necessária e suficiente mais usada (Critério de Cauchy) — enuncie:
A integral imprópria \int_{a}^{b} f(x)\,dx converge se, e somente se, vale o seguinte critério de Cauchy:
Para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para quaisquer t_1,t_2 com b-\delta<t_1<t_2<b, tem-se
Explicação didática do porquê isso é equivalente à convergência: pense nos números I(t)=\int_a^t f como uma sequência (ou trajetória contínua) quando t\to b^{-}. Um limite finito existe se, e somente se, os valores I(t) formarem uma sequência de Cauchy. A condição acima diz exatamente que os incrementos \int_{t_1}^{t_2} f ficam arbitrariamente pequenos quando ambos t_1,t_2 se aproximam de b. Portanto é condição necessária e suficiente.
Passo 4
Forma equivalente muito prática (condição de “cauda nula”): A integral \int_a^b f converge se, e somente se,
\lim_{t\to b^{-}}\int_{t}^{b} f(x)\,dx = 0.
Relação entre as duas formas:
Se \lim_{t\to b^{-}} I(t)=L então \int_{t}^{b} f = L-I(t)\to 0.
Se a cauda \int_{t}^{b} f\to 0 quando t\to b^{-}, então I(t)=\int_a^t f = \int_a^c f + \int_c^t f para algum c fixo, e a existência do limite segue porque \int_c^t f = -\int_t^{c} f e a parte restante tende a um valor fixo; tecnicamente usa-se a propriedade de Cauchy explicada no passo anterior para concluir que I(t) é Cauchy e, portanto, converge.
Passo 5
Condições equivalentes formuladas de modo operacional (úteis na prova):
(i) Definição direta: \lim_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t} f(x)\,dx existe finito.
(ii) Critério de Cauchy: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que \big|\int_{t_1}^{t_2} f\big|<\varepsilon sempre que b-\delta<t_1<t_2<b.
As três são equivalentes; escolher qual usar na prática depende do exercício: o critério de Cauchy é ótimo para provar convergência sem calcular o limite; a cauda nula é útil para transformações; a definição direta é usada quando você consegue calcular o limite.
Passo 6
Condições suficientes (mas não necessárias) frequentemente usadas na prova — eu ensino para você ter ferramentas práticas:
Teste de comparação (majorante): Se existe g\ge 0 tal que |f(x)|\le g(x) perto de b e
\int_{a}^{b} g(x)\,dx
converge, então \int_{a}^{b} f(x)\,dx converge (na verdade converge absolutamente). Intuição: se os “módulos” são controlados por algo integrável, então não há surpresa na cauda.
Exemplo simples: perto de b tenha |f(x)|\le \dfrac{C}{(b-x)^p}. Sabemos que
\int_{0}^{1} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p<1. Assim, se p<1 então \int_a^b f converge absolutamente.
Teste da comparação limite: Se existe g>0 tal que \lim_{x\to b^{-}} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L com 0<L<\infty, então \int_a^b f converge sse \int_a^b g converge. Isto é útil quando f tem comportamento assintótico conhecido.
Passo 7
Casos de funções oscilatórias (convergência condicional): testes que dão condições úteis (novamente: suficientes, mas nem sempre necessários)
Teste de Dirichlet: Se F(t):=\int_a^t f(x)\,dx é limitada para todo t<b (ou seja, as integrais parciais de f não explodem) e g(x) é monotona com \lim_{x\to b^{-}} g(x)=0, então
\int_a^b f(x)g(x)\,dx
converge. Intuição: f pode oscilar, mas multiplicando por um fator que vai a zero de forma monotona, as oscilações “cancelam” e a cauda tende a zero.
Teste de Abel: variante do Dirichlet quando você tem controle do somatório/integral parcial e monotonicidade de outro fator.
Esses testes são muito úteis para integrais que não são de sinal definido (ex.: funções como \sin(1/x) moduladas por algo que tende a zero).
Passo 8
Absoluta vs condicional — diferença importante:
Definição: a integral \int_a^b f converge absolutamente se \int_a^b |f(x)|\,dx converge.
Teorema: Se \int_a^b |f| converge então \int_a^b f converge. (Absoluta implica convergência.)
Porém a recíproca não vale: existem integrais que convergem condicionalmente (o módulo diverge, mas o integral de f converge pela oscilação).
Exemplo concreto para fixar: \int_{0}^{1} \dfrac{\sin(1/x)}{\sqrt{x}}\,dx. O comportamento é oscilatório; testes como Dirichlet podem mostrar convergência, enquanto \int_0^1 | \sin(1/x)| x^{-1/2}\,dx se comporta como \int_0^1 x^{-1/2}\,dx que converge (neste caso é absoluto). Outro exemplo clássico de condicional (para série é mais comum), mas a ideia é análoga para integrais oscilatórias.
Passo 9
Como aplicar na prova (receita prática, passo a passo, para você se acalmar):
Identifique se a impropriedade vem do limite de integração infinito (b=\infty) ou de singularidade em b.
Tente calcular \int_a^t f e tomar limite t\to b^{-}. Se dá para achar o limite, ótimo — esse é o veredicto.
Se não der para calcular, use o Critério de Cauchy: mostre que as caudas \int_{t_1}^{t_2} f ficam arbitrariamente pequenas.
Se f tem sinal ou |f| é comparável a algo conhecido, tente o teste da comparação (ou limite de comparação).
Se f oscila, pense em Dirichlet/Abel: procure uma decomposição f=g\cdot h com um dos fatores com integrais parciais limitadas e o outro monotono tendendo a zero.
Sempre verifique se a convergência é absoluta (verificar \int |f|) ou apenas condicional — isso às vezes é pedido.
Resposta
Critério de Cauchy: Para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para quaisquer t_1,t_2 com b-\delta<t_1<t_2<b,
Forma equivalente (cauda nula): \displaystyle \lim_{t\to b^{-}}\int_{t}^{b} f(x)\,dx=0.
Definição-equivalente direta: \displaystyle \lim_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t} f(x)\,dx existe e é finito.
Condições suficientes úteis (não necessárias): comparação com função integrável (teste de comparação), teste de Dirichlet/Abel para fatores oscilatórios, e o fato de que convergência absoluta (\int_a^b |f| finita) implica convergência.